Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.20 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 74333 986583 986581 2026-09-15T13:57:08Z Phl7605 31541 /* Cadre des « petites élongations angulaires » */ 986583 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angualires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec des C.I. <ref name="C.I." /> particulières <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\,\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté ou <math>\,\Delta_O\,</math> soit ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|5}}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\;O\;</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\;rad</math>.</ref>, {{Al|16}}{{Transparent|« on écarte le P.P.N.A. de sa position d’équilibre stable et }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. <math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math> dans le cas où la liaison avec <math>\;\Delta_O\;</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et aussi dans le cas où la liaison avec <math>\;O\;</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)</math>.</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\;-\theta_0\;</math> et <math>\;+\theta_0\;</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit <center>«<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />.</center> === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite <center>l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. <br />une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme d'amortissement et homogène.</center> === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient <center>un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» <br>appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angualires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\;\theta_m\;</math> reste petite c.-à-d. <math>\;\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\;</math> si on travaille à <math>\;1\; \%\;</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;</math> plus petit » réalisé pour une répartition de masse plus proche de l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> c.-à-d. «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> plus petit » <ref> En effet, quand on rapproche les masses de l’axe, cela implique la <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;J_{\Delta_O}\;</math> mais aussi celle de la distance <math>\;\mathfrak{a}\;</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\;\Delta_O</math>, les variations de <math>\;J_{\Delta_O}\;</math> et de <math>\;\mathfrak{a}\;</math> étant couplées ; <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;J_{\Delta_O}\;</math> implique celle de <math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;</math> en effet « si on divise toutes les distances par <math>\;2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est divisé par <math>\;4\;</math>» et la « distance <math>\;\mathfrak{a}\;</math> par <math>\;2\;</math>» c.-à-d. que « <math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;</math> est divisé par <math>\;2\;</math>» <math>\;\big[</math>dans ce cas la période des petites élongations est divisée par <math>\;\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et {{Al|16}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite »,}} à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\;g\;</math> plus grande » <math>\;\big[</math>ainsi le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sur Terre « bât un peu plus vite » <ref name="bât plus vite" /> aux pôles qu'à l'équateur <ref> L'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\;g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\;</math> et <math>\;g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\;</math> on en déduit <math>\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur.</ref> et le même P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « bât nettement plus rapidement » <ref name="bât plus vite" /> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <ref> Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>{{,}} <ref> L'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq 2,45\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> sur Terre battra à la période de <math>\;2,45\;s\;</math> sur la Lune.</ref><math>\big]</math>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous allons procéder autrement <math>\;\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <math>\;\big[</math>selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ce qui donne «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» soit, en reconnaissant * dans le 1^er terme «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» la dérivée temporelle de «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;</math>» et * dans le 2^nd {{Transparent|terme}}«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;</math>» {{Al|4}}celle de «<math>\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» {{Al|5}}puis en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;</math> également quelconque »<math>\big]\;</math> «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> <center>«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; {{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\;t\;</math> et à l’instant initial avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;E_m(t)\;</math> est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>» avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />.</center> === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et périodique</u> de période sous forme intégrale <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\;+\;</math> des <math>\;\theta\;</math> », l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 > 0\big)</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et périodique</u> de période sous forme intégrale <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 2id4y2nphgmthm3c02lkz5h5jabfuym 986584 986583 2026-09-15T14:33:06Z Phl7605 31541 /* Cadre des « petites élongations angulaires » */ 986584 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angualires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|15}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|15}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue de l'élongation ang }}donc restera petite soit <center>«<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />.</center> === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite <center>l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. <br />une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme d'amortissement et homogène.</center> === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient <center>un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» <br>appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angualires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\;\theta_m\;</math> reste petite c.-à-d. <math>\;\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\;</math> si on travaille à <math>\;1\; \%\;</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;</math> plus petit » réalisé pour une répartition de masse plus proche de l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> c.-à-d. «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> plus petit » <ref> En effet, quand on rapproche les masses de l’axe, cela implique la <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;J_{\Delta_O}\;</math> mais aussi celle de la distance <math>\;\mathfrak{a}\;</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\;\Delta_O</math>, les variations de <math>\;J_{\Delta_O}\;</math> et de <math>\;\mathfrak{a}\;</math> étant couplées ; <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;J_{\Delta_O}\;</math> implique celle de <math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;</math> en effet « si on divise toutes les distances par <math>\;2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est divisé par <math>\;4\;</math>» et la « distance <math>\;\mathfrak{a}\;</math> par <math>\;2\;</math>» c.-à-d. que « <math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;</math> est divisé par <math>\;2\;</math>» <math>\;\big[</math>dans ce cas la période des petites élongations est divisée par <math>\;\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et {{Al|16}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite »,}} à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\;g\;</math> plus grande » <math>\;\big[</math>ainsi le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sur Terre « bât un peu plus vite » <ref name="bât plus vite" /> aux pôles qu'à l'équateur <ref> L'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\;g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\;</math> et <math>\;g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\;</math> on en déduit <math>\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur.</ref> et le même P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « bât nettement plus rapidement » <ref name="bât plus vite" /> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <ref> Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>{{,}} <ref> L'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq 2,45\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> sur Terre battra à la période de <math>\;2,45\;s\;</math> sur la Lune.</ref><math>\big]</math>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous allons procéder autrement <math>\;\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <math>\;\big[</math>selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ce qui donne «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» soit, en reconnaissant * dans le 1^er terme «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» la dérivée temporelle de «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;</math>» et * dans le 2^nd {{Transparent|terme}}«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;</math>» {{Al|4}}celle de «<math>\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» {{Al|5}}puis en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;</math> également quelconque »<math>\big]\;</math> «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> <center>«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; {{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\;t\;</math> et à l’instant initial avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;E_m(t)\;</math> est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>» avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />.</center> === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et périodique</u> de période sous forme intégrale <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\;+\;</math> des <math>\;\theta\;</math> », l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 > 0\big)</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et périodique</u> de période sous forme intégrale <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} sbs9ei9a42bhskdz2zkh228oh5zgc00 986585 986584 2026-09-15T14:35:35Z Phl7605 31541 /* Cadre des « petites élongations angulaires » */ 986585 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angualires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|15}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|15}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite <center>l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. <br />une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme d'amortissement et homogène.</center> === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient <center>un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» <br>appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angualires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\;\theta_m\;</math> reste petite c.-à-d. <math>\;\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\;</math> si on travaille à <math>\;1\; \%\;</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;</math> plus petit » réalisé pour une répartition de masse plus proche de l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> c.-à-d. «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> plus petit » <ref> En effet, quand on rapproche les masses de l’axe, cela implique la <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;J_{\Delta_O}\;</math> mais aussi celle de la distance <math>\;\mathfrak{a}\;</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\;\Delta_O</math>, les variations de <math>\;J_{\Delta_O}\;</math> et de <math>\;\mathfrak{a}\;</math> étant couplées ; <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;J_{\Delta_O}\;</math> implique celle de <math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;</math> en effet « si on divise toutes les distances par <math>\;2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est divisé par <math>\;4\;</math>» et la « distance <math>\;\mathfrak{a}\;</math> par <math>\;2\;</math>» c.-à-d. que « <math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;</math> est divisé par <math>\;2\;</math>» <math>\;\big[</math>dans ce cas la période des petites élongations est divisée par <math>\;\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et {{Al|16}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite »,}} à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\;g\;</math> plus grande » <math>\;\big[</math>ainsi le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sur Terre « bât un peu plus vite » <ref name="bât plus vite" /> aux pôles qu'à l'équateur <ref> L'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\;g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\;</math> et <math>\;g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\;</math> on en déduit <math>\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur.</ref> et le même P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « bât nettement plus rapidement » <ref name="bât plus vite" /> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <ref> Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>{{,}} <ref> L'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq 2,45\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> sur Terre battra à la période de <math>\;2,45\;s\;</math> sur la Lune.</ref><math>\big]</math>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous allons procéder autrement <math>\;\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <math>\;\big[</math>selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ce qui donne «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» soit, en reconnaissant * dans le 1^er terme «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» la dérivée temporelle de «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;</math>» et * dans le 2^nd {{Transparent|terme}}«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;</math>» {{Al|4}}celle de «<math>\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» {{Al|5}}puis en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;</math> également quelconque »<math>\big]\;</math> «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> <center>«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; {{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\;t\;</math> et à l’instant initial avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;E_m(t)\;</math> est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>» avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />.</center> === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et périodique</u> de période sous forme intégrale <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\;+\;</math> des <math>\;\theta\;</math> », l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 > 0\big)</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et périodique</u> de période sous forme intégrale <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} a4p0t6mpukaynje6270e8bgkyof3yu6 986586 986585 2026-09-15T14:36:36Z Phl7605 31541 /* Cadre des « petites élongations angulaires » */ 986586 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angualires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;0\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite <center>l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» c.-à-d. <br />une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme d'amortissement et homogène.</center> === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient <center>un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» <br>appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angualires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\;\theta_m\;</math> reste petite c.-à-d. <math>\;\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\;</math> si on travaille à <math>\;1\; \%\;</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;</math> plus petit » réalisé pour une répartition de masse plus proche de l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> c.-à-d. «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> plus petit » <ref> En effet, quand on rapproche les masses de l’axe, cela implique la <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;J_{\Delta_O}\;</math> mais aussi celle de la distance <math>\;\mathfrak{a}\;</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\;\Delta_O</math>, les variations de <math>\;J_{\Delta_O}\;</math> et de <math>\;\mathfrak{a}\;</math> étant couplées ; <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;J_{\Delta_O}\;</math> implique celle de <math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;</math> en effet « si on divise toutes les distances par <math>\;2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est divisé par <math>\;4\;</math>» et la « distance <math>\;\mathfrak{a}\;</math> par <math>\;2\;</math>» c.-à-d. que « <math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;</math> est divisé par <math>\;2\;</math>» <math>\;\big[</math>dans ce cas la période des petites élongations est divisée par <math>\;\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et {{Al|16}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite »,}} à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\;g\;</math> plus grande » <math>\;\big[</math>ainsi le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sur Terre « bât un peu plus vite » <ref name="bât plus vite" /> aux pôles qu'à l'équateur <ref> L'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\;g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\;</math> et <math>\;g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\;</math> on en déduit <math>\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur.</ref> et le même P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « bât nettement plus rapidement » <ref name="bât plus vite" /> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <ref> Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>{{,}} <ref> L'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq 2,45\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> sur Terre battra à la période de <math>\;2,45\;s\;</math> sur la Lune.</ref><math>\big]</math>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous allons procéder autrement <math>\;\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <math>\;\big[</math>selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ce qui donne «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» soit, en reconnaissant * dans le 1^er terme «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» la dérivée temporelle de «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;</math>» et * dans le 2^nd {{Transparent|terme}}«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;</math>» {{Al|4}}celle de «<math>\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» {{Al|5}}puis en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;</math> également quelconque »<math>\big]\;</math> «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> <center>«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; {{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\;t\;</math> et à l’instant initial avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;E_m(t)\;</math> est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>» avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />.</center> === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et périodique</u> de période sous forme intégrale <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\;+\;</math> des <math>\;\theta\;</math> », l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 > 0\big)</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et périodique</u> de période sous forme intégrale <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} m8qis8j757klmxs5b0i64itvh0e76go 986589 986586 2026-09-15T16:48:59Z Phl7605 31541 /* Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » */ 986589 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angualires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient <center>un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» <br>appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angualires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\;\theta_m\;</math> reste petite c.-à-d. <math>\;\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\;</math> si on travaille à <math>\;1\; \%\;</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;</math> plus petit » réalisé pour une répartition de masse plus proche de l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> c.-à-d. «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> plus petit » <ref> En effet, quand on rapproche les masses de l’axe, cela implique la <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;J_{\Delta_O}\;</math> mais aussi celle de la distance <math>\;\mathfrak{a}\;</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\;\Delta_O</math>, les variations de <math>\;J_{\Delta_O}\;</math> et de <math>\;\mathfrak{a}\;</math> étant couplées ; <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;J_{\Delta_O}\;</math> implique celle de <math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;</math> en effet « si on divise toutes les distances par <math>\;2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est divisé par <math>\;4\;</math>» et la « distance <math>\;\mathfrak{a}\;</math> par <math>\;2\;</math>» c.-à-d. que « <math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;</math> est divisé par <math>\;2\;</math>» <math>\;\big[</math>dans ce cas la période des petites élongations est divisée par <math>\;\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et {{Al|16}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite »,}} à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\;g\;</math> plus grande » <math>\;\big[</math>ainsi le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sur Terre « bât un peu plus vite » <ref name="bât plus vite" /> aux pôles qu'à l'équateur <ref> L'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\;g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\;</math> et <math>\;g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\;</math> on en déduit <math>\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur.</ref> et le même P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « bât nettement plus rapidement » <ref name="bât plus vite" /> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <ref> Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>{{,}} <ref> L'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq 2,45\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> sur Terre battra à la période de <math>\;2,45\;s\;</math> sur la Lune.</ref><math>\big]</math>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous allons procéder autrement <math>\;\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <math>\;\big[</math>selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ce qui donne «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» soit, en reconnaissant * dans le 1^er terme «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» la dérivée temporelle de «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;</math>» et * dans le 2^nd {{Transparent|terme}}«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;</math>» {{Al|4}}celle de «<math>\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» {{Al|5}}puis en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;</math> également quelconque »<math>\big]\;</math> «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> <center>«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; {{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\;t\;</math> et à l’instant initial avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;E_m(t)\;</math> est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>» avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />.</center> === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et périodique</u> de période sous forme intégrale <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\;+\;</math> des <math>\;\theta\;</math> », l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 > 0\big)</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et périodique</u> de période sous forme intégrale <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 5t2sjc9n7rqmihqy4akokx9lg1j5tp0 986590 986589 2026-09-15T16:53:11Z Phl7605 31541 /* P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation */ 986590 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angualires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angualires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\;\theta_m\;</math> reste petite c.-à-d. <math>\;\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\;</math> si on travaille à <math>\;1\; \%\;</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;</math> plus petit » réalisé pour une répartition de masse plus proche de l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> c.-à-d. «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> plus petit » <ref> En effet, quand on rapproche les masses de l’axe, cela implique la <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;J_{\Delta_O}\;</math> mais aussi celle de la distance <math>\;\mathfrak{a}\;</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\;\Delta_O</math>, les variations de <math>\;J_{\Delta_O}\;</math> et de <math>\;\mathfrak{a}\;</math> étant couplées ; <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;J_{\Delta_O}\;</math> implique celle de <math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;</math> en effet « si on divise toutes les distances par <math>\;2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est divisé par <math>\;4\;</math>» et la « distance <math>\;\mathfrak{a}\;</math> par <math>\;2\;</math>» c.-à-d. que « <math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;</math> est divisé par <math>\;2\;</math>» <math>\;\big[</math>dans ce cas la période des petites élongations est divisée par <math>\;\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et {{Al|16}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite »,}} à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\;g\;</math> plus grande » <math>\;\big[</math>ainsi le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sur Terre « bât un peu plus vite » <ref name="bât plus vite" /> aux pôles qu'à l'équateur <ref> L'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\;g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\;</math> et <math>\;g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\;</math> on en déduit <math>\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur.</ref> et le même P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « bât nettement plus rapidement » <ref name="bât plus vite" /> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <ref> Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>{{,}} <ref> L'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq 2,45\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> sur Terre battra à la période de <math>\;2,45\;s\;</math> sur la Lune.</ref><math>\big]</math>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous allons procéder autrement <math>\;\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <math>\;\big[</math>selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ce qui donne «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» soit, en reconnaissant * dans le 1^er terme «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» la dérivée temporelle de «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;</math>» et * dans le 2^nd {{Transparent|terme}}«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;</math>» {{Al|4}}celle de «<math>\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» {{Al|5}}puis en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;</math> également quelconque »<math>\big]\;</math> «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> <center>«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; {{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\;t\;</math> et à l’instant initial avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;E_m(t)\;</math> est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>» avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />.</center> === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et périodique</u> de période sous forme intégrale <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\;+\;</math> des <math>\;\theta\;</math> », l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 > 0\big)</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et périodique</u> de période sous forme intégrale <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} qe77g8fpn8v2kjpu0marx4evxcutvfi 986591 986590 2026-09-15T20:37:46Z Phl7605 31541 /* Période des « petites oscillations » */ 986591 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angualires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angulaires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\,\theta_m\,</math> reste petite c.-à-d. <math>\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,</math> si on travaille à <math>\,1\; \%\,</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> plus petit » réalisé pour «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> plus petit » <ref> En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> <math>\Rightarrow</math> la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> mais aussi la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,\mathfrak{a}\,</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\,\Delta_O\,</math> d'où a priori une impossibilité de conclure, <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> implique celle de <math>\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> <math>\big[</math>par exemple « si on divise toutes les distances par <math>\,2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> est divisé par <math>\,4\;</math>» et la « distance <math>\,\mathfrak{a}\,</math> par <math>\,2\;</math>» c.-à-d. que «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> est divisé par <math>\,2\;</math>», dans ce cas la période des petites élongations est divisée par <math>\;\sqrt{2}\big]</math><math>\big]</math>.</ref> et {{Al|16}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite »,}} à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\;g\;</math> plus grande » <math>\;\big[</math>ainsi le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sur Terre « bât un peu plus vite » <ref name="bât plus vite" /> aux pôles qu'à l'équateur <ref> L'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\;g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\;</math> et <math>\;g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\;</math> on en déduit <math>\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur.</ref> et le même P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « bât nettement plus rapidement » <ref name="bât plus vite" /> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <ref> Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>{{,}} <ref> L'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq 2,45\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> sur Terre battra à la période de <math>\;2,45\;s\;</math> sur la Lune.</ref><math>\big]</math>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous allons procéder autrement <math>\;\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <math>\;\big[</math>selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ce qui donne «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» soit, en reconnaissant * dans le 1^er terme «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» la dérivée temporelle de «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;</math>» et * dans le 2^nd {{Transparent|terme}}«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;</math>» {{Al|4}}celle de «<math>\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» {{Al|5}}puis en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;</math> également quelconque »<math>\big]\;</math> «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> <center>«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; {{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\;t\;</math> et à l’instant initial avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;E_m(t)\;</math> est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>» avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />.</center> === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et périodique</u> de période sous forme intégrale <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\;+\;</math> des <math>\;\theta\;</math> », l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 > 0\big)</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et périodique</u> de période sous forme intégrale <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} frw46opjfk31y64u2s2lcpp3m6eyivz 986592 986591 2026-09-15T20:38:43Z Phl7605 31541 986592 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angulaires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\,\theta_m\,</math> reste petite c.-à-d. <math>\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,</math> si on travaille à <math>\,1\; \%\,</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> plus petit » réalisé pour «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> plus petit » <ref> En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> <math>\Rightarrow</math> la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> mais aussi la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,\mathfrak{a}\,</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\,\Delta_O\,</math> d'où a priori une impossibilité de conclure, <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> implique celle de <math>\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> <math>\big[</math>par exemple « si on divise toutes les distances par <math>\,2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> est divisé par <math>\,4\;</math>» et la « distance <math>\,\mathfrak{a}\,</math> par <math>\,2\;</math>» c.-à-d. que «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> est divisé par <math>\,2\;</math>», dans ce cas la période des petites élongations est divisée par <math>\;\sqrt{2}\big]</math><math>\big]</math>.</ref> et {{Al|16}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite »,}} à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\;g\;</math> plus grande » <math>\;\big[</math>ainsi le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sur Terre « bât un peu plus vite » <ref name="bât plus vite" /> aux pôles qu'à l'équateur <ref> L'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\;g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\;</math> et <math>\;g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\;</math> on en déduit <math>\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur.</ref> et le même P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « bât nettement plus rapidement » <ref name="bât plus vite" /> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <ref> Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>{{,}} <ref> L'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq 2,45\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> sur Terre battra à la période de <math>\;2,45\;s\;</math> sur la Lune.</ref><math>\big]</math>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous allons procéder autrement <math>\;\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <math>\;\big[</math>selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ce qui donne «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» soit, en reconnaissant * dans le 1^er terme «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» la dérivée temporelle de «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;</math>» et * dans le 2^nd {{Transparent|terme}}«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;</math>» {{Al|4}}celle de «<math>\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» {{Al|5}}puis en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;</math> également quelconque »<math>\big]\;</math> «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> <center>«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; {{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\;t\;</math> et à l’instant initial avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;E_m(t)\;</math> est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>» avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />.</center> === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et périodique</u> de période sous forme intégrale <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\;+\;</math> des <math>\;\theta\;</math> », l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 > 0\big)</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et périodique</u> de période sous forme intégrale <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} f853wcpzdcsqpghy7i9txqhqedfo7hz 986593 986592 2026-09-15T20:59:50Z Phl7605 31541 /* Période des « petites oscillations » */ 986593 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angulaires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\,\theta_m\,</math> reste petite c.-à-d. <math>\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,</math> si on travaille à <math>\,1\; \%\,</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> plus petit » réalisé pour «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> plus petit » <ref> En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> <math>\Rightarrow</math> la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> mais aussi la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,\mathfrak{a}\,</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\,\Delta_O\,</math> d'où a priori une impossibilité de conclure, <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> implique celle de <math>\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> <math>\big[</math>par exemple « si on divise toutes les distances par <math>\,2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> est divisé par <math>\,4\;</math>» et la « distance <math>\,\mathfrak{a}\,</math> par <math>\,2\;</math>» c.-à-d. que «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> est divisé par <math>\,2\;</math>», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par <math>\,\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\,g\,</math> plus grande » <ref> Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> un peu plus petite<math>\big)\,</math> aux pôles qu'à l'équateur <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,</math> et <math>\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur<math>\bigg]\,</math> et <br>{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> nettement plus petite<math>\big)\,</math> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\,1\;s\,</math> sur Terre battra à la période de <math>\,2,45\;s\,</math> sur la Lune<math>\bigg]</math>. <br>{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous allons procéder autrement <math>\;\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <math>\;\big[</math>selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ce qui donne «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» soit, en reconnaissant * dans le 1^er terme «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» la dérivée temporelle de «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;</math>» et * dans le 2^nd {{Transparent|terme}}«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;</math>» {{Al|4}}celle de «<math>\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» {{Al|5}}puis en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;</math> également quelconque »<math>\big]\;</math> «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> <center>«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; {{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\;t\;</math> et à l’instant initial avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;E_m(t)\;</math> est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>» avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />.</center> === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et périodique</u> de période sous forme intégrale <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\;+\;</math> des <math>\;\theta\;</math> », l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 > 0\big)</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et périodique</u> de période sous forme intégrale <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} hq6b6oswsaybx2vhx0gi927ghf2pswt 986594 986593 2026-09-15T21:02:18Z Phl7605 31541 /* Période des « petites oscillations » */ 986594 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angulaires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\,\theta_m\,</math> reste petite c.-à-d. <math>\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,</math> si on travaille à <math>\,1\; \%\,</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> plus petit » réalisé pour «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> plus petit » <ref> En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> <math>\Rightarrow</math> la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> mais aussi la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,\mathfrak{a}\,</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\,\Delta_O\,</math> d'où a priori une impossibilité de conclure, <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> implique celle de <math>\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> <math>\big[</math>par exemple « si on divise toutes les distances par <math>\,2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> est divisé par <math>\,4\;</math>» et la « distance <math>\,\mathfrak{a}\,</math> par <math>\,2\;</math>» c.-à-d. que «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> est divisé par <math>\,2\;</math>», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par <math>\,\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\,g\,</math> plus grande » <ref> Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> un peu plus petite<math>\big)\,</math> aux pôles qu'à l'équateur <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,</math> et <math>\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur<math>\bigg]\,</math> et <br>{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> nettement plus petite<math>\big)\,</math> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\,1\;s\,</math> sur Terre battra à la période de <math>\,2,45\;s\,</math> sur la Lune<math>\bigg]</math>. <br>{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous allons procéder autrement <math>\;\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <math>\;\big[</math>selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ce qui donne «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» soit, en reconnaissant * dans le 1^er terme «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» la dérivée temporelle de «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;</math>» et * dans le 2^nd {{Transparent|terme}}«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;</math>» {{Al|4}}celle de «<math>\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» {{Al|5}}puis en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;</math> également quelconque »<math>\big]\;</math> «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> <center>«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; {{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\;t\;</math> et à l’instant initial avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;E_m(t)\;</math> est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>» avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />.</center> === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et périodique</u> de période sous forme intégrale <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\;+\;</math> des <math>\;\theta\;</math> », l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 > 0\big)</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et périodique</u> de période sous forme intégrale <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} p2kw3q2vv8uqtlyxczkknj4dpl1jck1 986595 986594 2026-09-15T21:02:54Z Phl7605 31541 /* Période des « petites oscillations » */ 986595 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angulaires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\,\theta_m\,</math> reste petite c.-à-d. <math>\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,</math> si on travaille à <math>\,1\; \%\,</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> plus petit » réalisé pour «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> plus petit » <ref> En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> <math>\Rightarrow</math> la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> mais aussi la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,\mathfrak{a}\,</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\,\Delta_O\,</math> d'où a priori une impossibilité de conclure, <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> implique celle de <math>\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> <math>\big[</math>par exemple « si on divise toutes les distances par <math>\,2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> est divisé par <math>\,4\;</math>» et la « distance <math>\,\mathfrak{a}\,</math> par <math>\,2\;</math>» c.-à-d. que «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> est divisé par <math>\,2\;</math>», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par <math>\,\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\,g\,</math> plus grande » <ref> Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> un peu plus petite<math>\big)\,</math> aux pôles qu'à l'équateur <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,</math> et <math>\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur<math>\bigg]\,</math> et <br>{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> nettement plus petite<math>\big)\,</math> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\,1\;s\,</math> sur Terre battra à la période de <math>\,2,45\;s\,</math> sur la Lune<math>\bigg]</math>. <br>{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous allons procéder autrement <math>\;\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <math>\;\big[</math>selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ce qui donne «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» soit, en reconnaissant * dans le 1^er terme «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» la dérivée temporelle de «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;</math>» et * dans le 2^nd {{Transparent|terme}}«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;</math>» {{Al|4}}celle de «<math>\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» {{Al|5}}puis en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;</math> également quelconque »<math>\big]\;</math> «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> <center>«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; {{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\;t\;</math> et à l’instant initial avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;E_m(t)\;</math> est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>» avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />.</center> === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et périodique</u> de période sous forme intégrale <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\;+\;</math> des <math>\;\theta\;</math> », l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 > 0\big)</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et périodique</u> de période sous forme intégrale <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 3h8kw0gseh5ogc2nxcxsi4lfycx1kxc 986596 986595 2026-09-16T04:56:47Z Phl7605 31541 /* Introduction */ 986596 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angulaires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\,\theta_m\,</math> reste petite c.-à-d. <math>\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,</math> si on travaille à <math>\,1\; \%\,</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> plus petit » réalisé pour «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> plus petit » <ref> En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> <math>\Rightarrow</math> la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> mais aussi la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,\mathfrak{a}\,</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\,\Delta_O\,</math> d'où a priori une impossibilité de conclure, <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> implique celle de <math>\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> <math>\big[</math>par exemple « si on divise toutes les distances par <math>\,2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> est divisé par <math>\,4\;</math>» et la « distance <math>\,\mathfrak{a}\,</math> par <math>\,2\;</math>» c.-à-d. que «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> est divisé par <math>\,2\;</math>», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par <math>\,\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\,g\,</math> plus grande » <ref> Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> un peu plus petite<math>\big)\,</math> aux pôles qu'à l'équateur <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,</math> et <math>\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur<math>\bigg]\,</math> et <br>{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> nettement plus petite<math>\big)\,</math> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\,1\;s\,</math> sur Terre battra à la période de <math>\,2,45\;s\,</math> sur la Lune<math>\bigg]</math>. <br>{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}<math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.<math>\color{transparent}{11}</math> }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement <math>\;\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <ref> Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\ldots\;</math></ref> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ce qui donne «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» soit, en reconnaissant * dans le 1^er terme «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» la dérivée temporelle de «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;</math>» et * dans le 2^nd {{Transparent|terme}}«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;</math>» {{Al|4}}celle de «<math>\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» {{Al|5}}puis en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;</math> également quelconque »<math>\big]\;</math> «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> <center>«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; {{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\;t\;</math> et à l’instant initial avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;E_m(t)\;</math> est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>» avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />.</center> === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et périodique</u> de période sous forme intégrale <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\;+\;</math> des <math>\;\theta\;</math> », l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 > 0\big)</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et périodique</u> de période sous forme intégrale <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} msgqnezdu3ms1cjcqnxr28yzmyi8gqd 986597 986596 2026-09-16T04:59:46Z Phl7605 31541 /* Introduction */ 986597 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angulaires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\,\theta_m\,</math> reste petite c.-à-d. <math>\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,</math> si on travaille à <math>\,1\; \%\,</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> plus petit » réalisé pour «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> plus petit » <ref> En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> <math>\Rightarrow</math> la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> mais aussi la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,\mathfrak{a}\,</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\,\Delta_O\,</math> d'où a priori une impossibilité de conclure, <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> implique celle de <math>\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> <math>\big[</math>par exemple « si on divise toutes les distances par <math>\,2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> est divisé par <math>\,4\;</math>» et la « distance <math>\,\mathfrak{a}\,</math> par <math>\,2\;</math>» c.-à-d. que «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> est divisé par <math>\,2\;</math>», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par <math>\,\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\,g\,</math> plus grande » <ref> Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> un peu plus petite<math>\big)\,</math> aux pôles qu'à l'équateur <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,</math> et <math>\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur<math>\bigg]\,</math> et <br>{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> nettement plus petite<math>\big)\,</math> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\,1\;s\,</math> sur Terre battra à la période de <math>\,2,45\;s\,</math> sur la Lune<math>\bigg]</math>. <br>{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}<math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.<math>\color{transparent}{11}</math> }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement <math>\,\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <ref> Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\ldots\;</math></ref> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ce qui donne «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» soit, en reconnaissant * dans le 1^er terme «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» la dérivée temporelle de «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;</math>» et * dans le 2^nd {{Transparent|terme}}«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;</math>» {{Al|4}}celle de «<math>\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» {{Al|5}}puis en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;</math> également quelconque »<math>\big]\;</math> «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> <center>«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; {{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\;t\;</math> et à l’instant initial avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;E_m(t)\;</math> est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>» avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />.</center> === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et périodique</u> de période sous forme intégrale <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\;+\;</math> des <math>\;\theta\;</math> », l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 > 0\big)</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et périodique</u> de période sous forme intégrale <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} i3y1mwuelwo475m0cskgj97ni5p39x1 986598 986597 2026-09-16T05:06:51Z Phl7605 31541 /* Détermination de l’intégrale 1ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier */ 986598 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angulaires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\,\theta_m\,</math> reste petite c.-à-d. <math>\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,</math> si on travaille à <math>\,1\; \%\,</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> plus petit » réalisé pour «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> plus petit » <ref> En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> <math>\Rightarrow</math> la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> mais aussi la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,\mathfrak{a}\,</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\,\Delta_O\,</math> d'où a priori une impossibilité de conclure, <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> implique celle de <math>\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> <math>\big[</math>par exemple « si on divise toutes les distances par <math>\,2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> est divisé par <math>\,4\;</math>» et la « distance <math>\,\mathfrak{a}\,</math> par <math>\,2\;</math>» c.-à-d. que «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> est divisé par <math>\,2\;</math>», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par <math>\,\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\,g\,</math> plus grande » <ref> Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> un peu plus petite<math>\big)\,</math> aux pôles qu'à l'équateur <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,</math> et <math>\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur<math>\bigg]\,</math> et <br>{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> nettement plus petite<math>\big)\,</math> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\,1\;s\,</math> sur Terre battra à la période de <math>\,2,45\;s\,</math> sur la Lune<math>\bigg]</math>. <br>{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}<math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.<math>\color{transparent}{11}</math> }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement <math>\,\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <ref> Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\ldots\;</math></ref> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="équation différentielle du mouvement en theta"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ce qui donne «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» soit, en reconnaissant * dans le 1^er terme «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» la dérivée temporelle de «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;</math>» et * dans le 2^nd {{Transparent|terme}}«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;</math>» {{Al|4}}celle de «<math>\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» {{Al|5}}puis en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;</math> également quelconque »<math>\big]\;</math> «<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> <center>«<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\;\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\;t\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; {{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\;t\;</math> et à l’instant initial avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;E_m(t)\;</math> est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>» avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />.</center> === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et périodique</u> de période sous forme intégrale <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\;+\;</math> des <math>\;\theta\;</math> », l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 > 0\big)</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et périodique</u> de période sous forme intégrale <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} tk14q924xvtj2780a3mas42vvdjg6qk 986599 986598 2026-09-16T05:43:18Z Phl7605 31541 /* Détermination de l’intégrale 1ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier */ 986599 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angulaires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\,\theta_m\,</math> reste petite c.-à-d. <math>\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,</math> si on travaille à <math>\,1\; \%\,</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> plus petit » réalisé pour «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> plus petit » <ref> En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> <math>\Rightarrow</math> la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> mais aussi la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,\mathfrak{a}\,</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\,\Delta_O\,</math> d'où a priori une impossibilité de conclure, <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> implique celle de <math>\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> <math>\big[</math>par exemple « si on divise toutes les distances par <math>\,2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> est divisé par <math>\,4\;</math>» et la « distance <math>\,\mathfrak{a}\,</math> par <math>\,2\;</math>» c.-à-d. que «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> est divisé par <math>\,2\;</math>», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par <math>\,\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\,g\,</math> plus grande » <ref> Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> un peu plus petite<math>\big)\,</math> aux pôles qu'à l'équateur <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,</math> et <math>\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur<math>\bigg]\,</math> et <br>{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> nettement plus petite<math>\big)\,</math> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\,1\;s\,</math> sur Terre battra à la période de <math>\,2,45\;s\,</math> sur la Lune<math>\bigg]</math>. <br>{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}<math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.<math>\color{transparent}{11}</math> }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement <math>\,\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <ref> Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\ldots\;</math></ref> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="équation différentielle du mouvement en theta"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» avec <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;</math>», {{Al|5}}puis, en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\,\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\,</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> également quelconque »<math>\big]\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «<math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{t > 0}\;</math>» }}«<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» {{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» {{Al|5}}<u>Remarque</u> : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2^nd terme «<math>\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» du membre de gauche définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|⁵³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\,t\,</math> et {{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; {{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\;t\;</math> et à l’instant initial avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;E_m(t)\;</math> est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>» avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />.</center> === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et périodique</u> de période sous forme intégrale <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\;+\;</math> des <math>\;\theta\;</math> », l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 > 0\big)</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et périodique</u> de période sous forme intégrale <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} bqjwbq6y2g1cj53i82snktst5qx09sw 986600 986599 2026-09-16T06:09:34Z Phl7605 31541 /* Détermination de l’intégrale 1ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier */ 986600 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angulaires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\,\theta_m\,</math> reste petite c.-à-d. <math>\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,</math> si on travaille à <math>\,1\; \%\,</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> plus petit » réalisé pour «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> plus petit » <ref> En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> <math>\Rightarrow</math> la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> mais aussi la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,\mathfrak{a}\,</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\,\Delta_O\,</math> d'où a priori une impossibilité de conclure, <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> implique celle de <math>\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> <math>\big[</math>par exemple « si on divise toutes les distances par <math>\,2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> est divisé par <math>\,4\;</math>» et la « distance <math>\,\mathfrak{a}\,</math> par <math>\,2\;</math>» c.-à-d. que «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> est divisé par <math>\,2\;</math>», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par <math>\,\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\,g\,</math> plus grande » <ref> Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> un peu plus petite<math>\big)\,</math> aux pôles qu'à l'équateur <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,</math> et <math>\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur<math>\bigg]\,</math> et <br>{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> nettement plus petite<math>\big)\,</math> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\,1\;s\,</math> sur Terre battra à la période de <math>\,2,45\;s\,</math> sur la Lune<math>\bigg]</math>. <br>{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}<math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.<math>\color{transparent}{11}</math> }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement <math>\,\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <ref> Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\ldots\;</math></ref> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="équation différentielle du mouvement en theta"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» avec <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;</math>», {{Al|5}}puis, en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\,\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\,</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> également quelconque »<math>\big]\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «<math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{t > 0}\;</math>» }}«<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» {{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» {{Al|5}}<u>Remarque</u> : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2^nd terme «<math>\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» du membre de gauche définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\;</math>» définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)}\;</math>» définissant }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\,\left( \mathfrak{1} \right)\,</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute }}pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement }}l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\,t\,</math> et à l’instant initial <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon «<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» <br>{{Al|15}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}«<math>\;E_m(t)\,</math> étant l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\,t\,</math>» avec <br>{{Al|15}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}« référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />. === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et périodique</u> de période sous forme intégrale <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\;+\;</math> des <math>\;\theta\;</math> », l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 > 0\big)</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et périodique</u> de période sous forme intégrale <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 4gq33fgg91pufi3biwmkm5cjs9ir10d 986601 986600 2026-09-16T06:11:31Z Phl7605 31541 /* Détermination de l’intégrale 1ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier */ 986601 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angulaires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\,\theta_m\,</math> reste petite c.-à-d. <math>\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,</math> si on travaille à <math>\,1\; \%\,</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> plus petit » réalisé pour «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> plus petit » <ref> En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> <math>\Rightarrow</math> la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> mais aussi la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,\mathfrak{a}\,</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\,\Delta_O\,</math> d'où a priori une impossibilité de conclure, <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> implique celle de <math>\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> <math>\big[</math>par exemple « si on divise toutes les distances par <math>\,2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> est divisé par <math>\,4\;</math>» et la « distance <math>\,\mathfrak{a}\,</math> par <math>\,2\;</math>» c.-à-d. que «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> est divisé par <math>\,2\;</math>», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par <math>\,\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\,g\,</math> plus grande » <ref> Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> un peu plus petite<math>\big)\,</math> aux pôles qu'à l'équateur <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,</math> et <math>\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur<math>\bigg]\,</math> et <br>{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> nettement plus petite<math>\big)\,</math> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\,1\;s\,</math> sur Terre battra à la période de <math>\,2,45\;s\,</math> sur la Lune<math>\bigg]</math>. <br>{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}<math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.<math>\color{transparent}{11}</math> }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement <math>\,\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <ref> Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\ldots\;</math></ref> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="équation différentielle du mouvement en theta"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» avec <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;</math>», {{Al|5}}puis, en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\,\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\,</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> également quelconque »<math>\big]\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «<math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{t > 0}\;</math>» }}«<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» {{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» {{Al|5}}<u>Remarque</u> : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2^nd terme «<math>\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» du membre de gauche définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\;</math>» définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)}\;</math>» définissant }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\,\left( \mathfrak{1} \right)\,</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute }}pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement }}l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\,t\,</math> et à l’instant initial <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon «<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» <br>{{Al|16}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}«<math>\;E_m(t)\,</math> étant l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\,t\,</math>» avec <br>{{Al|16}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}« référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />. === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et périodique</u> de période sous forme intégrale <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\;+\;</math> des <math>\;\theta\;</math> », l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 > 0\big)</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et périodique</u> de période sous forme intégrale <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} a7toufyx562k2kk3n7hr25xfuyhqgh2 986602 986601 2026-09-16T06:13:08Z Phl7605 31541 /* Détermination de l’intégrale 1ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier */ 986602 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angulaires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\,\theta_m\,</math> reste petite c.-à-d. <math>\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,</math> si on travaille à <math>\,1\; \%\,</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> plus petit » réalisé pour «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> plus petit » <ref> En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> <math>\Rightarrow</math> la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> mais aussi la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,\mathfrak{a}\,</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\,\Delta_O\,</math> d'où a priori une impossibilité de conclure, <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> implique celle de <math>\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> <math>\big[</math>par exemple « si on divise toutes les distances par <math>\,2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> est divisé par <math>\,4\;</math>» et la « distance <math>\,\mathfrak{a}\,</math> par <math>\,2\;</math>» c.-à-d. que «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> est divisé par <math>\,2\;</math>», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par <math>\,\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\,g\,</math> plus grande » <ref> Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> un peu plus petite<math>\big)\,</math> aux pôles qu'à l'équateur <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,</math> et <math>\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur<math>\bigg]\,</math> et <br>{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> nettement plus petite<math>\big)\,</math> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\,1\;s\,</math> sur Terre battra à la période de <math>\,2,45\;s\,</math> sur la Lune<math>\bigg]</math>. <br>{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}<math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.<math>\color{transparent}{11}</math> }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement <math>\,\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <ref> Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\ldots\;</math></ref> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="équation différentielle du mouvement en theta"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» avec <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;</math>», {{Al|5}}puis, en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\,\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\,</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> également quelconque »<math>\big]\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «<math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{t > 0}\;</math>» }}«<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» {{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» {{Al|5}}<u>Remarque</u> : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2^nd terme «<math>\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» du membre de gauche définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\;</math>» définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)}\;</math>» définissant }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\,\left( \mathfrak{1} \right)\,</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute }}pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement }}l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\,t\,</math> et à l’instant initial <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon «<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» <br>{{Al|16}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}«<math>\;E_m(t)\,</math> étant l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\,t\,</math>» avec <br>{{Al|16}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}« référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />. === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et périodique</u> de période sous forme intégrale <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\;+\;</math> des <math>\;\theta\;</math> », l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 > 0\big)</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et périodique</u> de période sous forme intégrale <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} gpos8ncfo0smxwdyjvzlh3do0brt2ae 986603 986602 2026-09-16T06:15:23Z Phl7605 31541 /* Détermination de l’intégrale 1ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier */ 986603 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angulaires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\,\theta_m\,</math> reste petite c.-à-d. <math>\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,</math> si on travaille à <math>\,1\; \%\,</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> plus petit » réalisé pour «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> plus petit » <ref> En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> <math>\Rightarrow</math> la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> mais aussi la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,\mathfrak{a}\,</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\,\Delta_O\,</math> d'où a priori une impossibilité de conclure, <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> implique celle de <math>\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> <math>\big[</math>par exemple « si on divise toutes les distances par <math>\,2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> est divisé par <math>\,4\;</math>» et la « distance <math>\,\mathfrak{a}\,</math> par <math>\,2\;</math>» c.-à-d. que «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> est divisé par <math>\,2\;</math>», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par <math>\,\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\,g\,</math> plus grande » <ref> Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> un peu plus petite<math>\big)\,</math> aux pôles qu'à l'équateur <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,</math> et <math>\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur<math>\bigg]\,</math> et <br>{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> nettement plus petite<math>\big)\,</math> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\,1\;s\,</math> sur Terre battra à la période de <math>\,2,45\;s\,</math> sur la Lune<math>\bigg]</math>. <br>{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}<math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.<math>\color{transparent}{11}</math> }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement <math>\,\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <ref> Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\ldots\;</math></ref> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="équation différentielle du mouvement en theta"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» avec <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;</math>», {{Al|5}}puis, en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\,\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\,</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> également quelconque »<math>\big]\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «<math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{t > 0}\;</math>» }}«<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» {{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» {{Al|5}}<u>Remarque</u> : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2^nd terme «<math>\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» du membre de gauche définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\;</math>» définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)}\;</math>» définissant }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\,\left( \mathfrak{1} \right)\,</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute }}pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\,t\,</math> et à l’instant initial <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon «<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}«<math>\;E_m(t)\,</math> étant l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\,t\,</math>» avec <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}« référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />. === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et périodique</u> de période sous forme intégrale <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\;+\;</math> des <math>\;\theta\;</math> », l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 > 0\big)</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et périodique</u> de période sous forme intégrale <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 3rc7lcdsjxo0y57co5rkkdmv0yz60lm 986604 986603 2026-09-16T09:10:00Z Phl7605 31541 /* Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique */ 986604 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angulaires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\,\theta_m\,</math> reste petite c.-à-d. <math>\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,</math> si on travaille à <math>\,1\; \%\,</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> plus petit » réalisé pour «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> plus petit » <ref> En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> <math>\Rightarrow</math> la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> mais aussi la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,\mathfrak{a}\,</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\,\Delta_O\,</math> d'où a priori une impossibilité de conclure, <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> implique celle de <math>\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> <math>\big[</math>par exemple « si on divise toutes les distances par <math>\,2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> est divisé par <math>\,4\;</math>» et la « distance <math>\,\mathfrak{a}\,</math> par <math>\,2\;</math>» c.-à-d. que «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> est divisé par <math>\,2\;</math>», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par <math>\,\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\,g\,</math> plus grande » <ref> Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> un peu plus petite<math>\big)\,</math> aux pôles qu'à l'équateur <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,</math> et <math>\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur<math>\bigg]\,</math> et <br>{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> nettement plus petite<math>\big)\,</math> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\,1\;s\,</math> sur Terre battra à la période de <math>\,2,45\;s\,</math> sur la Lune<math>\bigg]</math>. <br>{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}<math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.<math>\color{transparent}{11}</math> }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement <math>\,\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <ref> Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\ldots\;</math></ref> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="équation différentielle du mouvement en theta"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» avec <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;</math>», {{Al|5}}puis, en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\,\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\,</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> également quelconque »<math>\big]\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «<math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{t > 0}\;</math>» }}«<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» {{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» {{Al|5}}<u>Remarque</u> : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2^nd terme «<math>\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» du membre de gauche définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\;</math>» définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)}\;</math>» définissant }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\,\left( \mathfrak{1} \right)\,</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute }}pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\,t\,</math> et à l’instant initial <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon «<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}«<math>\;E_m(t)\,</math> étant l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\,t\,</math>» avec <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}« référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />. === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée au chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <ref name=="étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et périodique</u> de période sous forme intégrale <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\;+\;</math> des <math>\;\theta\;</math> », l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 > 0\big)</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et périodique</u> de période sous forme intégrale <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 98bf03fbwptpwhfrnmr5vg87hv3irpi 986605 986604 2026-09-16T09:26:06Z Phl7605 31541 /* Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique */ 986605 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angulaires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\,\theta_m\,</math> reste petite c.-à-d. <math>\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,</math> si on travaille à <math>\,1\; \%\,</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> plus petit » réalisé pour «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> plus petit » <ref> En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> <math>\Rightarrow</math> la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> mais aussi la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,\mathfrak{a}\,</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\,\Delta_O\,</math> d'où a priori une impossibilité de conclure, <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> implique celle de <math>\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> <math>\big[</math>par exemple « si on divise toutes les distances par <math>\,2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> est divisé par <math>\,4\;</math>» et la « distance <math>\,\mathfrak{a}\,</math> par <math>\,2\;</math>» c.-à-d. que «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> est divisé par <math>\,2\;</math>», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par <math>\,\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\,g\,</math> plus grande » <ref> Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> un peu plus petite<math>\big)\,</math> aux pôles qu'à l'équateur <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,</math> et <math>\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur<math>\bigg]\,</math> et <br>{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> nettement plus petite<math>\big)\,</math> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\,1\;s\,</math> sur Terre battra à la période de <math>\,2,45\;s\,</math> sur la Lune<math>\bigg]</math>. <br>{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}<math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.<math>\color{transparent}{11}</math> }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement <math>\,\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <ref> Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\ldots\;</math></ref> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="équation différentielle du mouvement en theta"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» avec <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;</math>», {{Al|5}}puis, en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\,\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\,</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> également quelconque »<math>\big]\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «<math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{t > 0}\;</math>» }}«<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» {{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» {{Al|5}}<u>Remarque</u> : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2^nd terme «<math>\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» du membre de gauche définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\;</math>» définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)}\;</math>» définissant }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\,\left( \mathfrak{1} \right)\,</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute }}pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\,t\,</math> et à l’instant initial <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon «<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}«<math>\;E_m(t)\,</math> étant l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\,t\,</math>» avec <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}« référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />. === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée au chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <ref name=="étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<u>périodique</u> de période sous forme intégrale «<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}</math> }}<math>= \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période }}«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période }}«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\,+\,</math> des <math>\,\theta\;</math>», l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ; <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\;+\;</math> des <math>\;\theta\;</math> », l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 > 0\big)</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et périodique</u> de période sous forme intégrale <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} bqwkxv22b6fn4elv3ae961mky421h4a 986606 986605 2026-09-16T09:34:16Z Phl7605 31541 /* Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique */ 986606 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angulaires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\,\theta_m\,</math> reste petite c.-à-d. <math>\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,</math> si on travaille à <math>\,1\; \%\,</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> plus petit » réalisé pour «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> plus petit » <ref> En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> <math>\Rightarrow</math> la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> mais aussi la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,\mathfrak{a}\,</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\,\Delta_O\,</math> d'où a priori une impossibilité de conclure, <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> implique celle de <math>\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> <math>\big[</math>par exemple « si on divise toutes les distances par <math>\,2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> est divisé par <math>\,4\;</math>» et la « distance <math>\,\mathfrak{a}\,</math> par <math>\,2\;</math>» c.-à-d. que «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> est divisé par <math>\,2\;</math>», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par <math>\,\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\,g\,</math> plus grande » <ref> Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> un peu plus petite<math>\big)\,</math> aux pôles qu'à l'équateur <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,</math> et <math>\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur<math>\bigg]\,</math> et <br>{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> nettement plus petite<math>\big)\,</math> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\,1\;s\,</math> sur Terre battra à la période de <math>\,2,45\;s\,</math> sur la Lune<math>\bigg]</math>. <br>{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}<math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.<math>\color{transparent}{11}</math> }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement <math>\,\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <ref> Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\ldots\;</math></ref> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="équation différentielle du mouvement en theta"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» avec <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;</math>», {{Al|5}}puis, en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\,\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\,</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> également quelconque »<math>\big]\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «<math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{t > 0}\;</math>» }}«<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» {{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» {{Al|5}}<u>Remarque</u> : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2^nd terme «<math>\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» du membre de gauche définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\;</math>» définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)}\;</math>» définissant }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\,\left( \mathfrak{1} \right)\,</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute }}pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\,t\,</math> et à l’instant initial <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon «<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}«<math>\;E_m(t)\,</math> étant l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\,t\,</math>» avec <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}« référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />. === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée au chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <ref name=="étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<u>périodique</u> de période sous forme intégrale «<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}</math> }}<math>= \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période }}«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période }}«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\,+\,</math> des <math>\,\theta\;</math>», l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> définie par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right]</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période «<math>\;\color{transparent}{\theta_m}\;</math>» l'amplitude des oscillations définie par «<math>\;\color{transparent}{\theta_m}</math> }}<math>= \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ; <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\;+\;</math> des <math>\;\theta\;</math> », l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 > 0\big)</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et périodique</u> de période sous forme intégrale <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} jahk2808722ny8zq36h0wiikpyhv3xs 986607 986606 2026-09-16T09:39:07Z Phl7605 31541 /* Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique */ 986607 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angulaires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\,\theta_m\,</math> reste petite c.-à-d. <math>\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,</math> si on travaille à <math>\,1\; \%\,</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> plus petit » réalisé pour «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> plus petit » <ref> En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> <math>\Rightarrow</math> la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> mais aussi la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,\mathfrak{a}\,</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\,\Delta_O\,</math> d'où a priori une impossibilité de conclure, <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> implique celle de <math>\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> <math>\big[</math>par exemple « si on divise toutes les distances par <math>\,2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> est divisé par <math>\,4\;</math>» et la « distance <math>\,\mathfrak{a}\,</math> par <math>\,2\;</math>» c.-à-d. que «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> est divisé par <math>\,2\;</math>», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par <math>\,\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\,g\,</math> plus grande » <ref> Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> un peu plus petite<math>\big)\,</math> aux pôles qu'à l'équateur <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,</math> et <math>\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur<math>\bigg]\,</math> et <br>{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> nettement plus petite<math>\big)\,</math> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\,1\;s\,</math> sur Terre battra à la période de <math>\,2,45\;s\,</math> sur la Lune<math>\bigg]</math>. <br>{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}<math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.<math>\color{transparent}{11}</math> }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement <math>\,\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <ref> Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\ldots\;</math></ref> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="équation différentielle du mouvement en theta"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» avec <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;</math>», {{Al|5}}puis, en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\,\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\,</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> également quelconque »<math>\big]\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «<math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{t > 0}\;</math>» }}«<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» {{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» {{Al|5}}<u>Remarque</u> : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2^nd terme «<math>\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» du membre de gauche définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\;</math>» définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)}\;</math>» définissant }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\,\left( \mathfrak{1} \right)\,</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute }}pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\,t\,</math> et à l’instant initial <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon «<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}«<math>\;E_m(t)\,</math> étant l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\,t\,</math>» avec <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}« référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />. === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée au chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <ref name=="étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<u>périodique</u> de période sous forme intégrale «<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}</math> }}<math>= \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période }}«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période }}«<math>\;\theta_m\,</math> l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\,+\,</math> des <math>\,\theta\;</math>», l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> définie par <math>\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right]</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période «<math>\;\color{transparent}{\theta_m}\,</math> l'amplitude des oscillations définie par <math>\,\color{transparent}{\theta_m}</math> }}<math>= \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ; <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\;+\;</math> des <math>\;\theta\;</math> », l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 > 0\big)</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et périodique</u> de période sous forme intégrale <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 3wtj2c14tp5c2wjlaerpo063233yfrv 986608 986607 2026-09-16T09:41:29Z Phl7605 31541 /* Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique */ 986608 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angulaires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\,\theta_m\,</math> reste petite c.-à-d. <math>\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,</math> si on travaille à <math>\,1\; \%\,</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> plus petit » réalisé pour «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> plus petit » <ref> En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> <math>\Rightarrow</math> la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> mais aussi la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,\mathfrak{a}\,</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\,\Delta_O\,</math> d'où a priori une impossibilité de conclure, <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> implique celle de <math>\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> <math>\big[</math>par exemple « si on divise toutes les distances par <math>\,2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> est divisé par <math>\,4\;</math>» et la « distance <math>\,\mathfrak{a}\,</math> par <math>\,2\;</math>» c.-à-d. que «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> est divisé par <math>\,2\;</math>», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par <math>\,\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\,g\,</math> plus grande » <ref> Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> un peu plus petite<math>\big)\,</math> aux pôles qu'à l'équateur <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,</math> et <math>\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur<math>\bigg]\,</math> et <br>{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> nettement plus petite<math>\big)\,</math> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\,1\;s\,</math> sur Terre battra à la période de <math>\,2,45\;s\,</math> sur la Lune<math>\bigg]</math>. <br>{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}<math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.<math>\color{transparent}{11}</math> }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement <math>\,\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <ref> Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\ldots\;</math></ref> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="équation différentielle du mouvement en theta"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» avec <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;</math>», {{Al|5}}puis, en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\,\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\,</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> également quelconque »<math>\big]\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «<math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{t > 0}\;</math>» }}«<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» {{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» {{Al|5}}<u>Remarque</u> : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2^nd terme «<math>\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» du membre de gauche définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\;</math>» définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)}\;</math>» définissant }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\,\left( \mathfrak{1} \right)\,</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute }}pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\,t\,</math> et à l’instant initial <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon «<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}«<math>\;E_m(t)\,</math> étant l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\,t\,</math>» avec <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}« référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />. === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée au chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <ref name="étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<u>périodique</u> de période sous forme intégrale «<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}</math> }}<math>= \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période }}«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période }}«<math>\;\theta_m\,</math> l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\,+\,</math> des <math>\,\theta\;</math>», l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> définie par <math>\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right]</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période «<math>\;\color{transparent}{\theta_m}\,</math> l'amplitude des oscillations définie par <math>\,\color{transparent}{\theta_m}</math> }}<math>= \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ; <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\;+\;</math> des <math>\;\theta\;</math> », l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 > 0\big)</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et périodique</u> de période sous forme intégrale <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} izochpxed21wwzhqukgva7i8lp7xrfu 986609 986608 2026-09-16T09:51:37Z Phl7605 31541 /* Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique */ 986609 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angulaires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\,\theta_m\,</math> reste petite c.-à-d. <math>\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,</math> si on travaille à <math>\,1\; \%\,</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> plus petit » réalisé pour «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> plus petit » <ref> En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> <math>\Rightarrow</math> la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> mais aussi la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,\mathfrak{a}\,</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\,\Delta_O\,</math> d'où a priori une impossibilité de conclure, <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> implique celle de <math>\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> <math>\big[</math>par exemple « si on divise toutes les distances par <math>\,2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> est divisé par <math>\,4\;</math>» et la « distance <math>\,\mathfrak{a}\,</math> par <math>\,2\;</math>» c.-à-d. que «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> est divisé par <math>\,2\;</math>», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par <math>\,\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\,g\,</math> plus grande » <ref> Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> un peu plus petite<math>\big)\,</math> aux pôles qu'à l'équateur <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,</math> et <math>\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur<math>\bigg]\,</math> et <br>{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> nettement plus petite<math>\big)\,</math> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\,1\;s\,</math> sur Terre battra à la période de <math>\,2,45\;s\,</math> sur la Lune<math>\bigg]</math>. <br>{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}<math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.<math>\color{transparent}{11}</math> }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement <math>\,\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <ref> Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\ldots\;</math></ref> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="équation différentielle du mouvement en theta"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» avec <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;</math>», {{Al|5}}puis, en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\,\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\,</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> également quelconque »<math>\big]\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «<math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{t > 0}\;</math>» }}«<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» {{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» {{Al|5}}<u>Remarque</u> : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2^nd terme «<math>\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» du membre de gauche définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\;</math>» définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)}\;</math>» définissant }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\,\left( \mathfrak{1} \right)\,</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute }}pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\,t\,</math> et à l’instant initial <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon «<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}«<math>\;E_m(t)\,</math> étant l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\,t\,</math>» avec <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}« référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />. === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée au chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <ref name="étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<u>périodique</u> de période sous forme intégrale «<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}</math> }}<math>= \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période }}«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période }}«<math>\;\theta_m\,</math> l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\,+\,</math> des <math>\,\theta\;</math>», l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> selon <math>\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right]</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période «<math>\;\color{transparent}{\theta_m}\,</math> l'amplitude des oscillations selon <math>\,\color{transparent}{\theta_m}</math> }}<math>= \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref>{{,}} <ref name="arccosinus"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.<math>99</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <center>«<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>«<math>\;\theta_m\;</math>» l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\;+\;</math> des <math>\;\theta\;</math> », l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref> ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 > 0\big)</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et périodique</u> de période sous forme intégrale <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 5ochrkbg9ylxtv5eehi1edee7k9gdt5 986610 986609 2026-09-16T10:02:25Z Phl7605 31541 /* Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique */ 986610 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angulaires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\,\theta_m\,</math> reste petite c.-à-d. <math>\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,</math> si on travaille à <math>\,1\; \%\,</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> plus petit » réalisé pour «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> plus petit » <ref> En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> <math>\Rightarrow</math> la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> mais aussi la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,\mathfrak{a}\,</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\,\Delta_O\,</math> d'où a priori une impossibilité de conclure, <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> implique celle de <math>\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> <math>\big[</math>par exemple « si on divise toutes les distances par <math>\,2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> est divisé par <math>\,4\;</math>» et la « distance <math>\,\mathfrak{a}\,</math> par <math>\,2\;</math>» c.-à-d. que «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> est divisé par <math>\,2\;</math>», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par <math>\,\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\,g\,</math> plus grande » <ref> Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> un peu plus petite<math>\big)\,</math> aux pôles qu'à l'équateur <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,</math> et <math>\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur<math>\bigg]\,</math> et <br>{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> nettement plus petite<math>\big)\,</math> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\,1\;s\,</math> sur Terre battra à la période de <math>\,2,45\;s\,</math> sur la Lune<math>\bigg]</math>. <br>{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}<math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.<math>\color{transparent}{11}</math> }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement <math>\,\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <ref> Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\ldots\;</math></ref> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="équation différentielle du mouvement en theta"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» avec <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;</math>», {{Al|5}}puis, en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\,\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\,</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> également quelconque »<math>\big]\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «<math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{t > 0}\;</math>» }}«<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» {{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» {{Al|5}}<u>Remarque</u> : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2^nd terme «<math>\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» du membre de gauche définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\;</math>» définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)}\;</math>» définissant }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\,\left( \mathfrak{1} \right)\,</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute }}pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\,t\,</math> et à l’instant initial <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon «<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}«<math>\;E_m(t)\,</math> étant l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\,t\,</math>» avec <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}« référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />. === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée au chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <ref name="étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<u>périodique</u> de période sous forme intégrale «<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}</math> }}<math>= \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période }}«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période }}«<math>\;\theta_m\,</math> l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\,+\,</math> des <math>\,\theta\;</math>», l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> selon <math>\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right]</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période «<math>\;\color{transparent}{\theta_m}\,</math> l'amplitude des oscillations selon <math>\,\color{transparent}{\theta_m}</math> }}<math>= \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref>{{,}} <ref name="arccosinus"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.<math>99</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<u>périodique</u> de période sous forme intégrale <math>\blacktriangleright\;</math>si <math>\,\dot{\theta}_0 > 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\,\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}</math> }}<math>= \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période }}«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période }}«<math>\;\theta_m\,</math> l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\,+\,</math> des <math>\,\theta\;</math>», l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> selon <math>\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right]</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période «<math>\;\color{transparent}{\theta_m}\,</math> l'amplitude des oscillations selon <math>\,\color{transparent}{\theta_m}</math> }}<math>= \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref>{{,}} <ref name="arccosinus"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.<math>99</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} cm9yywafbwntcjh6jxgipz8ni7huqj5 986611 986610 2026-09-16T10:03:34Z Phl7605 31541 /* Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique */ 986611 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angulaires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\,\theta_m\,</math> reste petite c.-à-d. <math>\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,</math> si on travaille à <math>\,1\; \%\,</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> plus petit » réalisé pour «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> plus petit » <ref> En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> <math>\Rightarrow</math> la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> mais aussi la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,\mathfrak{a}\,</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\,\Delta_O\,</math> d'où a priori une impossibilité de conclure, <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> implique celle de <math>\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> <math>\big[</math>par exemple « si on divise toutes les distances par <math>\,2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> est divisé par <math>\,4\;</math>» et la « distance <math>\,\mathfrak{a}\,</math> par <math>\,2\;</math>» c.-à-d. que «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> est divisé par <math>\,2\;</math>», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par <math>\,\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\,g\,</math> plus grande » <ref> Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> un peu plus petite<math>\big)\,</math> aux pôles qu'à l'équateur <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,</math> et <math>\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur<math>\bigg]\,</math> et <br>{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> nettement plus petite<math>\big)\,</math> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\,1\;s\,</math> sur Terre battra à la période de <math>\,2,45\;s\,</math> sur la Lune<math>\bigg]</math>. <br>{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}<math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.<math>\color{transparent}{11}</math> }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement <math>\,\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <ref> Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\ldots\;</math></ref> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="équation différentielle du mouvement en theta"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» avec <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;</math>», {{Al|5}}puis, en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\,\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\,</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> également quelconque »<math>\big]\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «<math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{t > 0}\;</math>» }}«<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» {{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» {{Al|5}}<u>Remarque</u> : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2^nd terme «<math>\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» du membre de gauche définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\;</math>» définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)}\;</math>» définissant }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\,\left( \mathfrak{1} \right)\,</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute }}pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\,t\,</math> et à l’instant initial <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon «<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}«<math>\;E_m(t)\,</math> étant l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\,t\,</math>» avec <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}« référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />. === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée au chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <ref name="étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<u>périodique</u> de période sous forme intégrale «<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}</math> }}<math>= \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période }}«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période }}«<math>\;\theta_m\,</math> l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\,+\,</math> des <math>\,\theta\;</math>», l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> selon <math>\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right]</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période «<math>\;\color{transparent}{\theta_m}\,</math> l'amplitude des oscillations selon <math>\,\color{transparent}{\theta_m}</math> }}<math>= \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref>{{,}} <ref name="arccosinus"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.<math>99</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<u>périodique</u> de période sous forme intégrale <math>\blacktriangleright\;</math>si <math>\,\dot{\theta}_0 > 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math><ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\,\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}</math> }}<math>= \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période }}«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période }}«<math>\;\theta_m\,</math> l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\,+\,</math> des <math>\,\theta\;</math>», l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> selon <math>\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right]</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période «<math>\;\color{transparent}{\theta_m}\,</math> l'amplitude des oscillations selon <math>\,\color{transparent}{\theta_m}</math> }}<math>= \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref>{{,}} <ref name="arccosinus"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.<math>99</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <center><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\pi\;</math> et <math>\;\theta_0 + \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\;\theta_0 < 0</math>.</ref> ou encore,<br><math>\;\succ\;</math>si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref name="passage par angle moitié" /> ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> est <math>\;\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» ou «<math>\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> ou enfin, <br>«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\;\theta_0 - \pi\;</math> et <math>\;- \pi\;</math> est la même que celle entre <math>\;\theta_0\;</math> et <math>\;0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\;\pi</math>-périodique et par suite <br>{{Al|3}}<math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} 7370k8ftis85h0o4daiifrwiq84628a 986612 986611 2026-09-16T10:47:44Z Phl7605 31541 /* Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique */ 986612 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angulaires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\,\theta_m\,</math> reste petite c.-à-d. <math>\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,</math> si on travaille à <math>\,1\; \%\,</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> plus petit » réalisé pour «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> plus petit » <ref> En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> <math>\Rightarrow</math> la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> mais aussi la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,\mathfrak{a}\,</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\,\Delta_O\,</math> d'où a priori une impossibilité de conclure, <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> implique celle de <math>\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> <math>\big[</math>par exemple « si on divise toutes les distances par <math>\,2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> est divisé par <math>\,4\;</math>» et la « distance <math>\,\mathfrak{a}\,</math> par <math>\,2\;</math>» c.-à-d. que «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> est divisé par <math>\,2\;</math>», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par <math>\,\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\,g\,</math> plus grande » <ref> Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> un peu plus petite<math>\big)\,</math> aux pôles qu'à l'équateur <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,</math> et <math>\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur<math>\bigg]\,</math> et <br>{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> nettement plus petite<math>\big)\,</math> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\,1\;s\,</math> sur Terre battra à la période de <math>\,2,45\;s\,</math> sur la Lune<math>\bigg]</math>. <br>{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}<math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.<math>\color{transparent}{11}</math> }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement <math>\,\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <ref> Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\ldots\;</math></ref> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="équation différentielle du mouvement en theta"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» avec <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;</math>», {{Al|5}}puis, en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\,\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\,</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> également quelconque »<math>\big]\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «<math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{t > 0}\;</math>» }}«<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» {{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» {{Al|5}}<u>Remarque</u> : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2^nd terme «<math>\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» du membre de gauche définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\;</math>» définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)}\;</math>» définissant }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\,\left( \mathfrak{1} \right)\,</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute }}pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\,t\,</math> et à l’instant initial <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon «<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}«<math>\;E_m(t)\,</math> étant l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\,t\,</math>» avec <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}« référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />. === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée au chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <ref name="étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<u>périodique</u> de période sous forme intégrale «<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}</math> }}<math>= \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période }}«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période }}«<math>\;\theta_m\,</math> l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\,+\,</math> des <math>\,\theta\;</math>», l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> selon <math>\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right]</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période «<math>\;\color{transparent}{\theta_m}\,</math> l'amplitude des oscillations selon <math>\,\color{transparent}{\theta_m}</math> }}<math>= \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref>{{,}} <ref name="arccosinus"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.<math>99</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<u>périodique</u> de période sous forme intégrale <math>\blacktriangleright\;</math>si <math>\,\dot{\theta}_0 > 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math><ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\,\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 > 0}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}</math> }}<math>= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\,\dfrac{\theta}{2}\,</math> est <math>\,\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 > 0}</math>, }}«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 > 0}</math>, « }}angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." />, <math>\,\mathcal{T}\,</math> s'obtenant encore par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 > 0}</math>, }}«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\,\pi\,</math> et <math>\,\theta_0 + \pi\,</math> est la même que celle entre <math>\,0\,</math> et <math>\,\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\,\pi</math>-périodique et par suite <math>\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,</math> soit finalement <math>\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\,\theta_0 < 0</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale }}<math>\blacktriangleright\;</math>si <math>\,\dot{\theta}_0 < 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math><ref name="passage par angle moitié" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 < 0}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}</math> }}<math>= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\,\dfrac{\theta}{2}\,</math> est <math>\,\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 < 0}</math>, }}«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 < 0}</math>, « }}angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." />, <math>\,\mathcal{T}\,</math> s'obtenant encore par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 < 0}</math>, }}«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\,\theta_0 - \pi\,</math> et <math>\,- \pi\,</math> est la même que celle entre <math>\,\theta_0\,</math> et <math>\,0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\,\pi</math>-périodique et par suite <math>\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,</math> soit finalement <math>\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" />, <math>\;\Bigg\{</math>ou «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\;\pi\;</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" /><math>\Bigg\}</math>,</center> {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} k8hr7gavi46sz7ko9ocmlc90mdd4nrx 986613 986612 2026-09-16T10:51:30Z Phl7605 31541 /* Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique */ 986613 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angulaires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\,\theta_m\,</math> reste petite c.-à-d. <math>\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,</math> si on travaille à <math>\,1\; \%\,</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> plus petit » réalisé pour «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> plus petit » <ref> En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> <math>\Rightarrow</math> la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> mais aussi la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,\mathfrak{a}\,</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\,\Delta_O\,</math> d'où a priori une impossibilité de conclure, <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> implique celle de <math>\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> <math>\big[</math>par exemple « si on divise toutes les distances par <math>\,2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> est divisé par <math>\,4\;</math>» et la « distance <math>\,\mathfrak{a}\,</math> par <math>\,2\;</math>» c.-à-d. que «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> est divisé par <math>\,2\;</math>», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par <math>\,\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\,g\,</math> plus grande » <ref> Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> un peu plus petite<math>\big)\,</math> aux pôles qu'à l'équateur <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,</math> et <math>\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur<math>\bigg]\,</math> et <br>{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> nettement plus petite<math>\big)\,</math> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\,1\;s\,</math> sur Terre battra à la période de <math>\,2,45\;s\,</math> sur la Lune<math>\bigg]</math>. <br>{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.<math>9</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}<math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.<math>\color{transparent}{11}</math> }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement <math>\,\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <ref> Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\ldots\;</math></ref> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="équation différentielle du mouvement en theta"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» avec <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;</math>», {{Al|5}}puis, en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\,\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\,</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> également quelconque »<math>\big]\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «<math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{t > 0}\;</math>» }}«<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» {{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» {{Al|5}}<u>Remarque</u> : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2^nd terme «<math>\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» du membre de gauche définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\;</math>» définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)}\;</math>» définissant }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\,\left( \mathfrak{1} \right)\,</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute }}pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\,t\,</math> et à l’instant initial <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon «<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}«<math>\;E_m(t)\,</math> étant l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\,t\,</math>» avec <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}« référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />. === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée au chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <ref name="étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<u>périodique</u> de période sous forme intégrale «<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}</math> }}<math>= \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période }}«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période }}«<math>\;\theta_m\,</math> l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\,+\,</math> des <math>\,\theta\;</math>», l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> selon <math>\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right]</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période «<math>\;\color{transparent}{\theta_m}\,</math> l'amplitude des oscillations selon <math>\,\color{transparent}{\theta_m}</math> }}<math>= \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref>{{,}} <ref name="arccosinus"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.<math>99</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<u>périodique</u> de période sous forme intégrale <math>\blacktriangleright\;</math>si <math>\,\dot{\theta}_0 > 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math><ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\,\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 > 0}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}</math> }}<math>= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\,\dfrac{\theta}{2}\,</math> est <math>\,\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 > 0}</math>, }}«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 > 0}</math>, « }}angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." />, <math>\,\mathcal{T}\,</math> s'obtenant encore par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 > 0}</math>, }}«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\,\pi\,</math> et <math>\,\theta_0 + \pi\,</math> est la même que celle entre <math>\,0\,</math> et <math>\,\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\,\pi</math>-périodique et par suite <math>\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,</math> soit finalement <math>\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\,\theta_0 < 0</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale }}<math>\blacktriangleright\;</math>si <math>\,\dot{\theta}_0 < 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math><ref name="passage par angle moitié" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 < 0}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}</math> }}<math>= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\,\dfrac{\theta}{2}\,</math> est <math>\,\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 < 0}</math>, }}«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 < 0}</math>, « }}angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." />, <math>\,\mathcal{T}\,</math> s'obtenant encore par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 < 0}</math>, }}«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\,\theta_0 - \pi\,</math> et <math>\,- \pi\,</math> est la même que celle entre <math>\,\theta_0\,</math> et <math>\,0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\,\pi</math>-périodique et par suite <math>\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,</math> soit finalement <math>\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" />, ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 < 0}</math>, }}«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\,\pi\,</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" />, {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math> ou <math>\;< 0\;</math> établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\;\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\;\big(</math>nous supposons <math>\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\;G\;</math> sur la verticale de <math>\;O\;</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme implicite étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\theta_0\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> quelconques<math>\big)\;</math> et l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré : * pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; * pour un mouvement <u>révolutif</u>, le portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » correspond à un <u>portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <math>\;\big[</math>le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\;2\,\pi\;</math>» ou dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\;2\,\pi\;</math>», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots\big]</math>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <math>\;\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> utilisé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;</math> permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant<math>\Big]\;</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », «<math>\;\mathit{l}\;</math> par {{Nobr|<math>\;\mathfrak{a}\;</math>»,}} «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et on adapte les C.I. <ref name="C.I." /> pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;</math> satisfaisant un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> d'amplitude <math>\;\theta_m</math> <math>\;\bigg\{</math>c.-à-d. telles que «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>, «<math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> devant être substitué par <math>\;\theta_m\;</math> dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;</math> l'amplitude des oscillations est <math>\;\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> dans laquelle «<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» est la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> suivi de sa réécriture <math>\;\big(</math>sans nouvelle démonstration<math>\big)\;</math> prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> : <center>«<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\;\mathcal{T}\;</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\;</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>.</center> === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\;36\; mm</math>, de masse <math>\;526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\;12\; pieds\;</math> de long (un pied de l’époque valait <math>\;324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\;2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\;1792\;</math> et <math>\;1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » <center>«<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math> dans laquelle <math>\;\theta_m\;</math> est l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math> et <br>«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de <math>\;\theta_m\;</math> non petites <math>\;\bigg[</math>celles-ci devant être <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;</math> pour donner un résultat correct à <math>\;1\,\%\;</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <math>\;\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\;\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est égale à <math>\;\vert \theta_0 \vert\big)</math>, la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;0,43\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;7,19\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ; * pour <math>\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;</math> on trouve un écart relatif de <math>\;18,94\; \%\;</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période. == Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») == === Description du dispositif expérimental === [[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]] {{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />, les frottements fluide <math>\;\big(</math>et solide<math>\big)\;</math> ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » <ref name="durée grande devant période"> Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.</ref> ; {{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes : * une tige cylindrique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_t</math>, de masse <math>\;m_t</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_t\;</math> et de rayon <math>\;R_t</math>, pouvant être fixée en <math>\;O\;</math> sur un axe horizontal de rotation <math>\;\big(</math>l’axe du potentiomètre décrit ci-après<math>\big)</math>, * un cylindre métallique, de C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G_c</math>, de masse <math>\;m_c</math>, de longueur <math>\;\mathit{l}_c</math>, de rayon extérieur <math>\;R_2\;</math> et de rayon intérieur <math>\;R_1</math>, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation, * un potentiomètre bobiné <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\; k \Omega</math> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous à droite<math>\big)</math>, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; <br>{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. <ref name="A.S."> Alimentation Stabilisée <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.<math>22</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> entre <math>\;+12\; V\;</math> et <math>\;-12\; V</math>, la position angulaire du pendule étant alors <math>\;\propto\;</math> à la tension «<math>\;u(t)\;</math>» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; <br>{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «<math>\;u_{\text{éq}}\;</math>» à l’équilibre inférieure à <math>\;10\; mV\;</math><ref name="réglage du zéro"> De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de <math>\;u_{\text{éq}}\;</math> à <math>\;0</math>.</ref>, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«<math>\;300\; mV\;</math>}} pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes des <math>\;10\;</math> tours de potentiomètre donne <math>\;2,4\; V\;</math> par tour et <math>\;0,3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math> ; [[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]] [[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre <math>\;10\;</math> tours de <math>\;10\;k \Omega</math>]] {{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise <math>\;F</math>, utiliser un potentiomètre monotour de <math>\;10\; k \Omega\;</math> en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de <math>\;10\; k \Omega</math>, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de <math>\;8\; V\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour"> En effet <math>\;24\; V\;</math> aux bornes de <math>\;3\;</math> fois <math>\;10\; k \Omega\;</math> en montage potentiométrique donne <math>\;\big(</math>en sortie ouverte<math>\big)</math> <math>\;8\; V\;</math> aux bornes du potentiomètre, soit <math>\;8\; V\;</math> pour un tour et <math>\;1\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}</math>.</ref>, l’échelle de tension est de «<math>\;1\; V\;</math> pour {{Nobr|<math>\;45\; \text{°}\;</math>» <ref name="utilisation d'un potentiomètre monotour" />,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série <math>\;COM2\;</math>», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\big[</math>voir un exemple de potentiomètre monotour <math>\;10\; k \Omega\;</math> et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>. === Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python === {{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> avec une période d’échantillonnage de <math>\;10\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;70\; s\;</math><ref name="acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python"> L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » <math>\;\big[</math>pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>correspondant donc à <math>\;7000\;</math> valeurs captées <math>\Rightarrow</math> la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule<math>\big)\;</math> <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python"> Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».</ref>, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : import pycanum.main as pycan <br>import matplotlib.pyplot as plt <br> <br>import numpy <br>import math <br> <br>sys = pycan.Sysam("SP5") <ref> Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».</ref> <br>sys.config_entrees([0],[1]) <br>te=1e-2 # période d'échantillonnage <br>ne=7000 # nombre d'échantillons <br>duree=te*ne <br>sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs <br>sys.acquerir() <br>t=sys.temps() <br>u=sys.entrees() <br>echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension->angle <br>angle=u[0]/echelle <br>temps=t[0] <br>numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle]) <br>sys.fermer() <br>plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm <br> <br>plt.plot(temps,angle) <br>plt.xlabel("t (s)") <br>plt.ylabel("theta (rad)") <br>plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>plt.show() <ref> Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.</ref> [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]] <br>{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire <ref name="tracé d'une courbe par interface python"> Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » <math>\;\big[</math>pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »<math>\big]</math>, « scipy » <math>\;\big[</math>unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »<math>\big]\;</math> et « math » <math>\;\big[</math>permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de <math>\pi\big]</math>.</ref>, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_" <br>import numpy as np <br>import math <br>import scipy.signal <br> <br>[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt") <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad") <br>axis([0,70,-2,2]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » <ref name="rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit"> Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.</ref> il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas <ref name="but d'un filtre passe-bas"> Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1^ers harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.</ref> avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre <br>a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous : {{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F."> Réponse Impulsionnelle Finie.</ref> » qui est basée sur une réponse C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «<math>\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;</math>», les <math>\;2\;P + 1\;</math> cœfficients «<math>\;b_k\;</math>» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » <ref> Par exemple <math>\;b_0 = 1\;</math> et <math>\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;</math> définit un passe-tout <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang <math>\;P\;</math> de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure <math>\;f_c\;</math> du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» dans la mesure où la fréquence du signal <math>\;f</math> <math>\;\big[</math>ici de l'ordre de <math>\;1\;Hz\big]\;</math> est petite devant la fréquence d'échantillonnage <math>\;f_e</math> <math>\;\big[</math>ici égale à <math>\;100\;Hz\big]</math> ;<br>{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <math>\;\big(</math>filtre à réponse impulsionnelle finie<math>\big)\;</math>» est que cette méthode élimine les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, ce qui nécessite que <math>\;P\;</math> soit petit devant le nombre total <math>\;n_e\;</math> de points, <math>\;P\;</math> devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif <math>\;\big\{n_e\;</math> étant égal à <math>\;7000</math>, choisir <math>\;P\;</math> de l'ordre de <math>\;10\;</math> ou plus devrait convenir<math>\big\}</math>.</ref>, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle <math>\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]</math> : [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]] <br>P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif <ref> Pour obtenir la k^ème position filtrée on utilise <math>\;2\;P + 1 = 41\;</math> valeurs de son voisinage.</ref> <br>fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal <br> <br>h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] <ref name="R.I.F." /> » <ref name="paramètres du module scipy.signal.firwin"> Le 1^er paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, <br>{{Al|3}}le 2^nd {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure <math>\;\big\{</math>encadrée ou non par des crochets<math>\big\}</math>, <br>{{Al|3}}le 3^ème <math>\;\big(</math>optionnel<math>\big)\;</math> {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] <math>\;\big[</math>c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}le 4^ème {{Al|4}}{{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|<math>\;\bigg[</math>c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation <math>\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) & \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 - 1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs <math>\;\big(</math>sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent<math>\big)</math>.</ref> <br>y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] <ref name="produit de convolution"> Le produit de convolution de deux suites réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)</math> <math>\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;</math> et <math>\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}</math>, est une autre suite, qui se note généralement «<math>\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}</math> ;</center> {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles <math>\;\big(</math>ou complexes<math>\big)\;</math> d'une variable réelle <math>\;\big(</math>ou complexe<math>\big)</math> <math>\;f\;</math> et <math>\;g</math>, est une autre fonction, qui se note généralement «<math>\;f * g\;</math>» et qui est définie par <center><math>\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt</math> <br>voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » <br>du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</center></ref> du signal θ par le filtre passe-bas simulé <br> <br>ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré <br>ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros <br>for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant … <br>{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k <ref> Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les <math>\;P\;</math> 1^ers points ainsi que les <math>\;P\;</math> derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant <math>\;P\;T_e</math>.</ref> {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y » <br> <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(temps,angle,"b") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu <br>plot(ty,y,"r") {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("theta (rad)") <br>axis([50,60,-0.3,0.3]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]] <br>{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «<math>\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;</math>» avec «<math>\;T_e\;</math> la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1^er et 2^nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur <br>omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y) <br>figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm <br>plot(ty,omega) <br>xlabel("t (s)") <br>ylabel("omega (rad/s)") <br>axis([0,70,-10,10]) <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure {{clr}} [[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]] {{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à partir de son point de lancement, on élimine les 1^ères valeurs des listes de temps «<math>\;ty\;</math>», de positions angulaires «<math>\;y\;</math>» et de vitesses angulaires «<math>\;\text{omega}\;</math>» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement <math>\;\big(</math>celle de vitesses angulaires étant divisée par <math>\;2\;\pi\;</math> de façon à ce que ces dernières soient exprimées en <math>\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)</math>, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te <br>y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels <br>omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … <br>{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π <br>figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm <br>plot(y,omega) <br>axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2]) <br>xlabel("theta") <br>ylabel("omega") <br>grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure <br>{{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à partir de celles du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même <math>\;\ldots</math> === Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » === {{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi"> Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.</ref> ; ci-après est proposée [[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de <math>\;10\;k \Omega</math>]] [[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]] [[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />]] {{Al|5}}une 1^ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)\;</math> associée au logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" /> <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|une 1^ère manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer <math>\;\big\{</math>il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire <ref> Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !</ref> mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs<math>\}</math> <math>\;\ldots</math> === Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » === {{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2^nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 <math>\;\big[</math>on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour <math>\;\big(</math>comme celui représenté ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche <math>\;\big(</math>dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation<math>\;\Delta_O\big)\big]</math>, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003"> Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».</ref>{{,}} <ref name="article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003"> On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée <math>\;\ldots</math></ref> et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » <ref name="Regressi" />. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et réglage du zéro <ref name ="réglage de Synchronie 2003"> Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».</ref> : l'acquisition de la tension <math>\;u(t)\;</math> sera faite avec une période d’échantillonnage de <math>\;2,5\; ms\;</math> et pendant une durée de <math>\;2,5\; s</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>il}} y aura donc <math>\;1000\;</math> valeurs captées<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à <math>\;12\; s\;</math> avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à <math>\;4800\;</math> valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement<math>\big]</math> ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) <ref name="réglage du zéro" /> » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}</math> <math>\;\big(</math>on trouve <math>\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;</math><ref> On adaptera <math>\;V1\;</math> à la valeur effectivement trouvée.</ref>, l'échelle de correspondance «<math>\;3,00\; V\;</math> pour <math>\;45\; \text{°}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>en effet <math>\;24\; V\;</math> pour un tour de potentiomètre donne <math>\;3\; V\;</math> pour <math>\;\dfrac{1}{8}\;</math> de tour correspondant à une élongation angulaire de <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement <math>\;2\;</math> acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'avoir lâché sans vitesse initiale * la 1^ère correspondant à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience <math>\;2,5\;s\;</math> et * la 2^nde {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude <math>\;\big(</math>voisine de <math>\;60\;\text{°}\big)\;</math> avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|<math>\;12\;s</math>,}} puis {{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «<math>\;T\;</math>» <ref> « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.</ref> et «<math>\;EAO\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » <ref name="Regressi" /> : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » <ref name="Regressi" />,}} on obtient un tableau donnant «<math>\;T\;</math>» et «<math>\;EAO\;</math>», on modifie alors «<math>\;T\;</math>» en «<math>\;t\;</math>» <ref> Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.</ref> et on crée la nouvelle variable «<math>\;\theta\;</math>» à partir de «<math>\;EAO\;</math>» selon «<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;</math>» <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en <math>\;\text{°}\big)\;</math><ref> En effet la tension <math>\;V1\;</math> correspond à l'élongation angulaire <math>\;90\;\text{°}\;</math> d'où la formule <math>\;\ldots</math></ref> puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ». [[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable <ref name="équilibre stable" />}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » <ref name="Synchronie 2003" />}} et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] [[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P."> Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de <math>\;\Delta_O\;</math> du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre <math>\;\big(</math>en lubrifiant par exemple<math>\big)</math> et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.</ref> écarté de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> et « Regressi » <ref name="Regressi" />]] * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;2,5\;s\;</math> après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;</math>» avec une amplitude «<math>\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;</math>» et bien que le tracé semble, à 1^ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique <ref> Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » <math>\;\big[</math>dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. <math>\;\big(</math>dont les différents points successifs ne sont pas reliés<math>\big)\;</math> et une sinusoïde <math>\;\big(</math>correspondant au modèle<math>\big)\;</math> plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire <math>\;\ldots\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="comparaison expérience - résolution numérique"> Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique <math>\;\ldots</math></ref>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude <math>\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.N.A.</u> <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre N.A. le P.P." /> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1^ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé <ref name="comparaison expérience - résolution numérique" />, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique <math>\;\ldots</math> <br> * <u>Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ayant écarté le P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;</math><ref name="raison d'une faible élongation angulaire initiale"> On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>par frottements fluides<math>\big)\;</math> soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation <math>\;\searrow\;</math> de façon exponentielle.</ref> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » <ref name="Synchronie 2003" /> sur une durée de <math>\;12\;s</math>, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant <math>\;V1 = 6,06\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;</math>»}} <math>\;\big(\theta\;</math> étant en <math>\;\text{°}\;</math> et <math>\;EAO\;</math> en <math>\;V\big)</math>, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » <ref name="Regressi" />, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> obtenu par « Regressi » <ref name="Regressi" /> étant présenté ci-contre : <br>{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «<math>\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;</math>» avec une amplitude de la 1^ère pseudo-oscillation «<math>\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;</math>», la <math>\;\searrow\;</math> de la pseudo-amplitude étant exponentielle <ref> En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait <math>\;\nearrow\;</math> le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la <math>\;\searrow\;</math> elle se confond avec une <math>\;\searrow\;</math> linéaire <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Il est aussi possible de vérifier la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : <br>{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles <math>\rightarrow</math> Autres <math>\rightarrow</math> Oscillations <math>\rightarrow</math> Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.</ref> on peut définir le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique"> Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1^er se déplace]] » de la série chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =</math> <math>\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> dont la valeur est «<math>\;\delta \simeq 0,112\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq</math> <math>13,3\;s</math> <math>\;\bigg[</math>la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. * <u>Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » <ref name="Regressi" /> selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)</math>, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » <math>\;\big[</math>tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1^ère pseudo-amplitude <math>\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]</math>. * <u>Portrait de phase du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » <ref name="Regressi" /> correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> écarté de <math>\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}</math> <math>\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;</math> de sa position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> <math>\;\big(</math>sans que les différents points successifs ne soient reliés<math>\big)\;</math> selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » <math>\;\big[</math>tracé non fourni à allure de « patatoïde » <math>\;\big(</math>car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote <math>\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]</math>. === Mise en évidence de l’amortissement du P.P. === {{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite <math>\;\big(</math>elle vaut en effet <math>\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)</math>, la pseudo-période valant <math>\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;</math> et, en supposant que la pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> exponentiellement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites"> Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes <math>\;\big(</math>toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement<math>\big)</math>.</ref>, le décrément logarithmique <ref name="décrément logarithmique" /> <math>\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;</math> est estimée à «<math>\;\delta \simeq 0,15\;</math>» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement <math>\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s</math> <math>\;\bigg[</math>ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> selon <math>\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]</math>. {{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="rendre A. le P.P." /> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la <math>\;\searrow\;</math> exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement <ref name="décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites" /> car cette dernière reste petite <math>\;\big(</math>la 1^ère pseudo-amplitude valant <math>\;10,1\;\text{°}\big)</math>, revoir l'étude dans le paragraphe précité <math>\;\ldots</math> == En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] <math>\;\big(</math>P.P.<math>\big)\;</math> devient « amorti <math>\;\big(</math>A.<math>\big)\;</math>» s’il est soumis <math>\;\big(</math>en plus de son poids et des actions de la liaison en <math>\;O\big)\;</math> à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants : * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\;\big[</math>toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math> ; * si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br><math>\;\succ\;</math>« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\;\big(</math>idéale<math>\big)</math>, les C.I. de lancement sont aussi les «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison <math>\;\ldots</math> === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du pendule, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous : {{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref name="moment vectoriel du poids"> Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, * les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\;O\;</math> se réduisant à « la réaction <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction - bis"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; <br>{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math> est nulle c.-à-d. <math>\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> et par suite <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u> <math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\big[</math>« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction <math>\;-\;</math> dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer <math>\;\big(</math>ou limiter<math>\big)\;</math> une action suivant la direction considérée <math>\;-\;</math> n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices<math>\big]\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\;0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\;\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\;\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;</math> ayant deux composantes suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;</math> et <math>\;\vec{u}_z</math>, mais <u>n'est pas le cas de la composante de</u> <math>\;\vec{R}\;</math> <u>suivant</u> <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\;\big[</math>dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> entraîne un mouvement suivant <math>\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> de façon à ce que la distance <math>\;OG\;</math> reste constante<math>\big]\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que <math>\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math> dans les <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. <math>\;G\;</math> se fait bien dans le plan vertical de lancement <math>\;\ldots</math></ref> appliquée en {{Nobr|<math>\;O\;</math>»}} de vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et * les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » <ref> Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement <math>\;\big(</math>et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires<math>\big)</math>.</ref> : un pseudo point centré en <math>\;M\;</math> de la surface latérale <ref name="pseudo point d'une expansion surfacique"> Un pseudo point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>».</ref> du front du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de maître couple d'aire <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math><ref name="maître couple"> Le maître couple est fait défini pour un objet <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)</math> ; <br>{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point <math>\;(M,\,dS)\;</math> de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec {V}_M(t)</math>, <math>\;{dS'}_{\!\!M}\;</math> étant l'aire du maître couple de <math>\;(M,\,dS)\;</math> du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de <math>\;dS\;</math> sur ce plan.</ref> subissant une force de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;</math>» où «<math>\;S' =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est l'aire du maître couple du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big(</math>en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement"> Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant <math>\;OG\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical de lancement.</ref><math>\big)</math>, «<math>\;h\;</math>» étant une constante positive <math>\;\big(</math>exprimée en <math>\;kg \cdot s^{-1}\big)\;</math> caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur <math>\;e\;</math> non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure <math>\;\big(</math>cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile<math>\big)</math>, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude <math>\;z\;</math> car la couche inférieure à l'altitude <math>\;z_i = 0\;</math> tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude <math>\;z_s = e > 0\;</math> a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude <math>\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;</math> va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude <math>\;z^{+}\;</math> qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude <math>\;z^{-}\;</math> qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard<math>\big]\;</math> que l'on notera <math>\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;</math> s'exprimant en <math>\;Pa</math>, <math>\;d \Sigma\;</math> étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide par <math>\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;</math> avec <math>\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;</math> le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude <math>\;z</math>, ceci impliquant que la viscosité dynamique <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide s'exprime en <math>\;Pa \cdot s\;</math> <math>\big[</math>encore appelé « poiseuille » de symbole <math>\;Pl</math>, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite<math>\big)\;</math> ont la vitesse maximale <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée <math>\;\nu_{\text{flu}}\;</math> qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> du fluide ainsi que de sa masse volumique <math>\;\mu_{\text{flu}}\;</math> selon <math>\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;</math> s'exprimant donc en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> <math>\big[</math>mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole <math>\;St\;</math> égal à <math>\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]</math> ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre <math>\;\big(</math>il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie<math>\big)\;</math> et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.</ref> et de la densité du fluide <ref name="influence de la densité du fluide sur les frottements fluides"> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;\big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref> ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou, en définissant <math>\;I</math>, point solidaire du pendule, selon «<math>\;\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="unicité de I"> Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que <math>\;{dS'}_{\!M}\;</math> ainsi que <math>\;S'\;</math> n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de <math>\;I\;</math> est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.</ref>{{,}} <ref name="positionnement relatif de I par rapport à G"> Compte-tenu des définitions de <math>\;I</math> <math>\;\big(</math>qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses<math>\big)\;</math> et de <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>qui dépend de la répartition des masses en volume<math>\big)</math>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{OI}\;</math>»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref> et en dérivant par rapport au temps «<math>\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule"> Même si <math>\;I\;</math> n’est pas dans le plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>», <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe <math>\;O\;</math> et on en déduit «<math>\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;</math>» ainsi que {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_I(t)</math>}} <math>= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;</math>» où «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» est le vecteur rotation instantanée <math>\;\perp\;</math> au plan vertical contenant «<math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>».</ref>,}} résultante s’appliquant en «<math>\;I\;</math>» <math>\;\notin\;</math> a priori au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG"> Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> et en absence de vitesse initiale de <math>\;G\;</math> hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\vec{V}_I</math>, on en déduit que le vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_I\;</math> doit être <math>\;\parallel\;</math> à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «<math>\;I\;</math>» <math>\;\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;I\;</math> étant comme <math>\;G\;</math> solidaires du pendule, l'angle <math>\;\theta_I\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OI}\;</math> avec la verticale descendante passant par <math>\;O\;</math> est lié de façon unique à l'angle <math>\;\theta_G\;</math> que fait <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> avec cette même verticale descendante passant par <math>\;O</math>, le lien le plus simple est de supposer que <math>\;\theta_I = \theta_G\;</math> et c'est l'hypothèse que nous admettrons <math>\;\big(</math>mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux<math>\big)</math>, pour simplifier on a donc représenté <math>\;I\;</math> sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à <math>\;O\;</math> des forces de frottement fluide «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» <ref name="vecteurs vitesse des points liés au pendule" /> soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel <ref name="formules du double produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «<math>\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;</math>».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}</math>}} <math>= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;</math>» ; sachant qu'avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement «<math>\;I\;</math> <math>\in\;</math> au plan vertical contenant <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'une part et en faisant l'hypothèse que «<math>\;\theta_I = \theta_G\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /> d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «<math>\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;</math>» et, avec «<math>\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;</math>», expliciter «<math>\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =</math> <math>r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;</math>» <ref> En effet la base sphérique <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;G\;</math> étant orthonormée directe <math>\;\big\{</math>c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> on a «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;</math>» d'une part et d'autre part «<math>\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;</math>» <math>\;\theta_G\;</math> étant l'angle entre <math>\;\vec{u}_z\;</math> et <math>\;\vec{u}_{r_G}</math> <math>\;\big\{</math>angle <math>\;\geqslant 0</math>, les angles du plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> selon la règle du tire-bouchon de Maxwell <math>\;\big[</math>tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref>, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;</math> se réécrit en base cylindro-polaire liée à <math>\;G\;</math> sachant que <math>\;\vec{u}_{r_G} =</math> <math>\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;</math> soit l'expression finale donnée.</ref> ou encore, en posant «<math>\;H = h\,r_I^2\;</math>», <center>«<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace</math>».</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;</math>» avec «<math>\;m\;\vec{g}\;</math> et <math>\;\vec{R}\;</math> dans le plan <math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;</math>» d'une part ainsi que «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =</math> <math>-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;</math>» <ref> En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture du 1^er terme <math>\;\big(</math>après mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> selon <math>\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}</math>, celle du 2^ème terme <math>\;\big(</math>après la même mise en facteur par <math>\;-h\;r_I\big)\;</math> donnant <math>\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;</math> ou, avec <math>\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}</math>, <math>\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>.</ref> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =</math> <math>-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> avec <math>\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;</math>» d'autre part, d'où, en projetant sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}</math>, l'équation suivante «<math>\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" /> dont la validité suppose «<math>\;\rho_G \neq 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}«<math>\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> avec <math>\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;</math>» <ref> <math>\;I\;</math> et <math>\;G\;</math> étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant <math>\;t\;</math> reste la même que celle à l'instant initial.</ref> soit encore, en multipliant les deux membres par <math>\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math> soit finalement l'équation différentielle suivante <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}</math>, en «<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =</math> <math>A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;</math>» <ref> La constante d'intégration <math>\;A\;</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; <br />{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\;t_{\text{éq stable}}\;</math> mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|²⁰]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|²¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|²²]] » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\;t_{\text{éq stable}}</math> compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\;\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\;\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\;t \in \mathbb{R}</math>, ce qui entraîne la continuité de <math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}on détermine la constante <math>\;A\;</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit finalement <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u> <math>\;G\;</math> <u>dans les</u> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> <u>de lancement</u> : aucune modification avant l'intervention des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0" /> soit, avec «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>», la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> sous la forme «<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;</math>» ou «<math>\;0 = A\;</math>» et par suite <center>«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}en simplifiant par <math>\;\rho_G^2(t)\;</math> non identiquement nul, <center>«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}</math>» ou enfin, </center> {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> dans les <math>\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;</math> de lancement : }}après intégration «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», valeur de <math>\;cste'\;</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\varphi_G(0) = 0</math>, soit <center>«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», <br>c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\;G\;</math> dans le plan de lancement.</center> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\;\Delta_O\;</math> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans le plan vertical du mouvement <math>\;zOx</math> <math>\;\big\{</math>avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical descendant, <math>\;\vec{u}_x\;</math> unitaire horizontal <math>\;\perp\;</math> au 3^ème vecteur unitaire horizontal <math>\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\;O\;</math> et d’axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math> soit, avec la base polaire liée au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> dans ce plan <math>\;zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire" />, «<math>\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression du vecteur position de G" />, «<math>\;\theta_G\;</math>» <math>\;\big[</math>abscisse angulaire du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> noté {{Nobr|«<math>\;\theta\;</math>»}} par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <math>\;\big[</math>ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier <ref name="front de surface latérale indépendante du sens de déplacement" /> et par suite que le point d'application <math>\;I\;</math> de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus <ref name="unicité de I" /> en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de <math>\;G\;</math>» et, d'autre part, « sur le support de <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math>» <ref name="justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>», mais <math>\;\ldots</math><br>{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big[</math>on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple <ref name="représentation d'un couple sur un schéma" />, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /><math>\big]</math>. === Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté === {{Al|5}}<math>\;\Delta_O\;</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on peut appliquer au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\;\Delta_O</math>, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids - bis"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, * la réaction du point <math>\;O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> ou <br>{{Transparent| la réaction }}de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math><ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>»,}} * la résultante des forces de frottement fluide linéaire «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> dont le moment vectoriel évalué relativement à <math>\;O\;</math> étant {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)</math>}} <math>= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise <math>\;\dot{\varphi}_G = 0\;</math> établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.</ref> permet de déduire le moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O</math> <math>\;\big(</math>sachant que <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifie à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;</math>» soit, en posant <math>\;H = h\;r_I^2\;</math> et en remplaçant <math>\;\theta_G\;</math> par <math>\;\theta\;</math> en absence d'ambigüité, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou <br>«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.A. <ref name="P.P.A." /> lié à <math>\;\Delta_O\;</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\;\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant celui du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> situé à la distance <math>\;\mathit{l}\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>», le C.D.I. <math>\;G\;</math> étant confondu avec <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>» et le point <math>\;I\;</math> confondu avec <math>\;G\;</math> d'où «<math>\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>»<math>\big]\;</math> l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>»</center> {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme linéaire du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire amorti</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.</center> === Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites === {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est de même nature que celle du « P.P.S.A. <ref name="P.P.S.A." /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : {{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;f(x)</math> <math>\;\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1^er ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à <center>l’<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." />,</center> {{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée * analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe<math>\big]\;</math> ou * numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <math>\;\big[</math>résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement<math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.</u> <ref name="P.P.A." /> <u>dans le cas des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement particulières <math>\;\big(</math>que la liaison avec <math>\;O\;</math> ou <math>\;\Delta_O\;</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> suivantes : {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)" /> » en supposant l’abscisse angulaire initiale <math>\;\theta_0\;</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;</math><ref name="en radians" />, l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale" /> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale"> La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude <math>\;\searrow\;</math> à partir de <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\;O\;</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\;\Delta_O\;</math> lancé sans vitesse initiale <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vert \theta_0 \vert\;</math> non nécessairement petit<math>\big)\;</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et restera petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math><ref name="en radians" /> » ; {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L." /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> de <math>\;\sin(\theta)\;</math> au voisinage de 0 <ref name="D.L. à l'ordre un" /> selon <math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math> et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> devient linéaire selon <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>»</center> {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> avec terme d'amortissement et homogène. {{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse il devient un « <u>oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>amorti<math>\big)\;</math> » de pulsation propre «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u> <math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math> <u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et de facteur d’amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» tel que «<math>\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math>» ou «<math>\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;</math>» d’où * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «<math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», l’amortissement étant exponentiel en «<math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_<_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique critique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et * si «<math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math>» le régime est apériodique <math>\;\big[</math>de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_>_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\;\ldots</math> == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité == === Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M === {{Al|5}}Revoir le chap.<math>12</math> « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » <span style="color:#ff0000;"><math>\color{red}{\big(}</math>seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés<math>\color{red}{\big)}</math></span>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1^ère du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ». {{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] », * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et <br><math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à <math>\;M</math>. === Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. === [[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO"> L'axe <math>\;\Delta_O\;</math> étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;</math> sortant du plan de la figure.</ref> et représentation des deux forces s'appliquant sur le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." />]] {{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant <math>\;\Delta_O\;</math> l'axe passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au plan vertical initial, le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire d'axe <math>\;\Delta_O</math> ; {{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" />{{,}} <ref name="orientation de l'axe DeltaO" /> pour repérer le point <math>\;M\;</math> ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>le plan étant orienté par <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math>, les coordonnées polaires de <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;</math>» <ref name="définition de l"> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige.</ref> et la base polaire du plan liée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>», <math>\;\theta\;</math> définissant l'angle polaire de <math>\;M</math>, angle orienté par <math>\;\vec{u}_{\!\Delta_O}</math>, voir ci-contre. {{Al|5}}Le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\theta</math>, l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point <math>\;M\;</math> étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la détermination de l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math> ; {{Al|5}}le point <math>\;M\;</math> est soumis à deux forces : * une force à distance « le poids de <math>\;M\;</math>» «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" />{{,}} <ref> Il convient bien sûr de remplacer <math>\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;</math> par <math>\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;</math> dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..</ref> et * une force de contact « la tension de la tige » «<math>\;\vec{T}(t)</math> <math>\big[</math>a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus<math>\big]\;</math>» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation <math>\;\Delta_O\;</math> vaut «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire de T"> Le moment vectoriel de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant nul car <math>\;\vec{T}(t)\;</math> central <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de <math>\;T(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> en effet, dans la mesure où la direction de <math>\;T(t)\;</math> coupe l’axe <math>\;\Delta_O</math>, le bras de levier de <math>\;T(t)\;</math> est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant <math>\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;</math> finie par le bras de levier de la force, on en déduit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;</math> d'où <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, avec la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, s'écrit <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible », <br>«<math>\;J_{\Delta_O}(M)\;</math> étant le moment d'inertie du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta_O\;</math>» défini par <math>\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;</math> où <br><math>\;\mathit{l}\;</math> est la distance orthogonale de <math>\;M\;</math> à <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur de la tige<math>\big)\;</math> et <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;</math> l'accélération angulaire du point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit</center> {{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, <center>«<math>\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» dans le cas d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> à un degré de liberté, lié à <math>\;O\;</math> par « tige rigide inextensible » ou,</center> {{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire" /> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> === Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. <ref name="P.P.S."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité <math>\;\big(</math>ou d'instabilité<math>\big)\;</math> d'un P.P.S. <ref name="P.P.S." />. {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » <math>\;\big[</math>plus exactement les zéros de la « composante de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>» à savoir «<math>\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «<math>\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;</math>» et l’équilibre nécessitant «<math>\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="moment scalaire moteur"> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» définit donc le « moment scalaire moteur ».</ref> et que l’équilibre nécessite «<math>\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= 0\;\; \forall\; t\;</math>», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» ou «<math>\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» soit «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0</math> ou <math>\pi\;</math>» <ref> En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. <math>\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Retour sur la détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres d'un P.P.S.</u> <ref name="P.P.S." /> : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » <math>\;\big[</math>ainsi au voisinage de {{Nobr|«<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>»,}} «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;</math>» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq</math> <math>m\;g\;\varepsilon\;</math>» force répulsive caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> <ref> Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)</math>, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref>, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » <ref name="justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur"> Sur cet exemple le moment scalaire moteur «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» est égal à la composante motrice «<math>\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;</math>» multipliée par «<math>\;\mathit{l}\;</math>» constante positive d’où l’affirmation.</ref> : {{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}<math>\big[</math>ainsi au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = 0\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «<math>\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;</math>» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable<math>\big]</math> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité<math>\color{transparent}{\;(}</math>ou de l'instabilité<math>\color{transparent}{)\;}</math>des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité <math>\;\big(</math>ou de l'instabilité<math>\big)\;</math> des équilibres du P.P.S. <ref name="P.P.S." /> identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ». === En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur === <u>Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation : * ceux des forces « motrices » <ref name="moteur"> On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.</ref> qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire <math>\;\big[</math>correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement<math>\big]</math>, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et * ceux des forces « non motrices » qui sont <math>\;\perp\;</math> au mouvement <math>\;\big[</math>correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient <math>\;\perp\;</math> au mouvement<math>\big]</math>, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ; {{Al|5}}soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> et ne s’annulant pas avec le mouvement » <ref> On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.</ref>, les abscisses angulaires «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» à savoir les valeurs «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telles que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>». <u>Détermination de la stabilité</u><math>\underline{\;(}</math><u>ou de l'instabilité</u><math>\underline{)\;}</math><u>des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe</u> : {{Al|5}}pour étudier la stabilité <math>\;\big(</math>ou l'instabilité<math>\big)\;</math> de l’équilibre repéré par «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> telle que <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>», faire un D.L. <ref name="D.L." /> à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>» au voisinage de la position d’équilibre «<math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math>» et conclure selon les résultats suivants : * <u>cas usuel</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre un «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;</math>», <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; <\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» <ref> Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par <math>\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}</math>, la dérivée de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math> par rapport à la variable de position conduisant à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =</math> <math>-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;</math> et par suite à <math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; >\; 0</math>.</ref>, <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas peu fréquent</u> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux ou plus : <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre deux selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre trois «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)</math> <math>\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;</math>», <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>de rappel</u> » et l'équilibre est « <u>stable</u> », <br>{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}<math>\blacktriangleright\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> est « un moment scalaire <u>répulsif</u> » et l'équilibre est « <u>instable</u> », * <u>cas inexistant en pratique</u> <ref> Mais qui, en théorie, pourrait exister.</ref> «<math>\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0</math>, <math>\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;</math>» : le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre ou plus : <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre quatre selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math>}} est toujours du signe de <math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\varepsilon\;</math>» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « <u>globalement instable</u> », <br>{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}<math>\succ\;</math> si «<math>\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;</math> est <math>\;= 0\;</math> mais <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;</math>», le développement de <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;</math> au voisinage de <math>\;\theta_{\text{éq}}\;</math> est limité à l'ordre cinq selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;</math>», correspondant à un équilibre « <u>stable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; <\; 0\;</math>» et « <u>instable</u> pour <math>\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; >\; 0\;</math>». == Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu == [[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" />, le point <math>\;M\;</math> du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;O\;</math> avec repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et d'axe <math>\;\Delta\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2^ème additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats : {{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> appliquée à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et de l'intégrale 1^ère énergétique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil <math>\;\vec{T}(t)\;</math> sur <math>\;\vec{u}_r</math>, <center>«<math>\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;</center> {{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math><ref> Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique <math>\;\big(</math>mais non toléré en mathématiques<math>\big)\;</math> consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, <math>\;\overline{T}(t)\;</math> étant la valeur de la fonction <math>\;f\;</math> composante radiale du vecteur tension du fil de la variable <math>\;\theta\;</math> composée avec la fonction <math>\;g\;</math> loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable <math>\;t\;</math> est identifié, en physique, à <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> mais cette même valeur serait notée en mathématiques <math>\;f\! \left[ g(t) \right]\;</math> ou <math>\;f(\theta)\;</math> faisant la distinction entre la fonction <math>\;f \circ g\;</math> de la variable <math>\;t\;</math> et <math>\;f\;</math> de la variable <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.</ref> est <math>\;< 0\;\;\forall\; \theta</math>, ce qui est réalisé « si le maximum de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de <math>\;\theta</math>, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale : * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» <ref> Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type <math>\;1\mathfrak{b}\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;\neq 0</math>.</ref>, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;</math>}} pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>» mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;</math> quel que soit le signe de <math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» <ref> En effet la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, par exemple, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 > 0</math>, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;</math> et, en supposant <math>\;\dot{\theta}_0 < 0</math>, elle se réécrit <math>\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math> ou <math>\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0</math> <math>\;\Big\{</math>car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de <math>\;\overline{T}(\theta)\;</math> à <math>\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}</math>.</ref> c.-à-d. une même condition indépendante du signe de <math>\;\dot{\theta}_0</math>, <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement révolutif</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} > \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;</math>», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est {{Nobr|«<math>\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;</math>}} dans lequel l'amplitude <math>\;\theta_m =</math> <math>\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;</math>» <ref name="amplitude d'oscillations"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> mais la fonction <math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant <math>\;2\;\pi</math>-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de <math>\;\overline{T}(\theta)</math>, à savoir <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;</math>», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant <center>«<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace < 0\;</math>» ;</center> {{Al|5}}<math>\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;</math> étant une fonction <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]</math>, la condition se réécrit «<math>\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) < 0\;</math>» soit finalement <center>« la <u>condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal <ref name="fil idéal" /> soit effectivement oscillatoire</u> sans que le fil ne se détende est <math>\;E_{m,\,0} < m\;g\;\mathit{l}\;</math>» ;</center> * finalement si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;</math>», <u>le fil se détend</u> pour «<math>\;\theta_{\text{détente}}\;</math> telle que <math>\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;</math>» et on obtient «<math>\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;</math>». == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] }} t2mo4q6egm6ybiudwsjbsyflnys751i 4 87341 986582 986561 2026-09-15T12:58:42Z MediaWiki message delivery 20848 /* Bascule de serveur : votre wiki sera bientôt en lecture seule durant un court instant */ nouvelle section 986582 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|09}}{{Clr}}</noinclude> == Les RAW sont arrivés, la rentrée peut commencer ! == <div style="background-color:#177860; border-radius:.2em; color:#FFF;padding: 1em;"> <div style="font-family: Century Gothic; font-size:3em; line-height:120%;text-align:center;color: #fff;">RAW</div> <div style="margin-bottom:1.5em; margin-top:1em; text-align:center; color: #fff;">Le numéro de&nbsp;septembre 2026 ({{numéro|296}}) est sorti.</div> <div class="center">[[:w:Wikipédia:RAW/2026-09-05|<span class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled" style="white-space:break-spaces; text-align:center; gap:0;"role="button" aria-disabled="false">Lire l'infolettre</span>]]</div> </div> '''C'est la rentrée''' Après un numéro très dense en août en raison de la Wikimania, celui-ci est un peu plus léger car l'équipe s'est octroyée quelques vacances. Cela n'empêche pas le mouvement de continuer à vivre, avec une rentrée déjà animée ! Du côté des projets francophones, le Wiktionnaire vient de franchir le cap symbolique des sept millions d’entrées, tandis que Wikipédia continue de voir fleurir sondages et discussions sur son fonctionnement. Une rentrée, donc, placée sous le signe de la construction collective : de nouveaux outils pour contribuer, de nouveaux espaces pour échanger, de nouvelles formes d’organisation… Ce numéro des RAW vous propose de faire le tour de cette actualité, avant de reprendre tranquillement le chemin des projets Wikimédia. L'équipe de la rédaction a également commencé à réfléchir à un nouveau nom pour remplacer l'énigmatique « RAW ». N'hésitez pas à venir donner votre avis dans la [[:w:Discussion Wikipédia:RAW/Rédaction#Changement de nom|section dédiée]] ! ---- Au menu de ce numéro : '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">En bref</span>''' — Des actualités francophones et du mouvement Wikimédia, des nouveaux outils et des articles de recherche '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">Le wik'hit parade</span>''' — Une analyse des articles les plus vus le mois dernier [[Fichier:Toicon-icon-sharp-corners-draw.svg|20px|classe=skin-invert-image]] Les RAW, c'est aussi vous : n'hésitez pas à suggérer des sujets ou participer à la rédaction du [[:w:Wikipédia:RAW/Rédaction|prochain numéro]] ! [[Utilisateur:Antimuonium|Antimuonium]] ([[Discussion utilisateur:Antimuonium|discuter]]) 4 septembre 2026 à 22:15 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-37 == <section begin="technews-2026-W37"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/37|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * La fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Help:Growth/Tools/Add_a_link|Ajouter un lien]] a été améliorée pour les utilisateurs de Wikipédia en anglais, avec une meilleure détection des liens présentant des différences de majuscules. Cela permettra de réduire les suggestions ambiguës dues aux différences de majuscules dans les titres d'articles, notamment ceux consacrés aux biens culturels. Une deuxième phase d'améliorations est prévue, qui permettra également de préparer cette fonctionnalité en vue de son déploiement dans d'autres langues. [https://phabricator.wikimedia.org/T435526#12240876] [https://phabricator.wikimedia.org/T434259] * La fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Article_guidance|Guide des articles]] sera activée par défaut pour les contributeurs débutants sur Wikipédia en anglais simplifié et en turc à compter du 10 septembre 2026, à la suite d'[[mw:Special:MyLanguage/Article_guidance/Updates#Summary_of_experiment_result|une expérience]]. Les contributeurs débutants ayant effectué entre 0 et 99 modifications verront automatiquement s'afficher cette fonctionnalité lorsqu'ils cliqueront sur un lien rouge ou utiliseront l'option « [[tr:Vikipedi:Madde_sihirbazı|Madde oluşturto]] » sur Wikipédia en turc pour créer un nouvel article. Ce changement vise à aider les contributeurs débutants à créer des articles de meilleure qualité, conformes aux normes de chaque Wikipédia. [[phab:maniphest/query/z3tcTjmLMxk5/#R|D'autres améliorations]] seront apportées en fonction des résultats de l'expérience et des retours de la communauté. * L'outil [https://pageviews.wmcloud.org « Analyse des pages vues »], qui permet aux utilisateurs de comparer le nombre de pages vues sur plusieurs pages, fête cette année ses 10 ans et s'est enrichi de plusieurs nouvelles fonctionnalités. Parmi celles-ci figurent [[toolforge:wikinav|WikiNav]], qui donne un aperçu de la manière dont les lecteurs de Wikipédia explorent le contenu, les statistiques d'édition dans [https://pageviews.wmcloud.org/siteviews?range=latest-30&sites=en.wikipedia.org « Vues du site »], la possibilité de [https://pageviews.wmcloud.org/massviews?source=wikiproject&project=en.wikipedia.org rechercher des articles appartenant à un projet Wiki] et la prise en charge du mode sombre. [https://phabricator.wikimedia.org/T378549] * Une barre de navigation [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader_Growth/Minimal_Minerva|Minerva, visuellement simplifiée]] est actuellement testée auprès des lecteurs non connectés utilisant la version mobile des Wikipédias en bengali, tchèque, anglais, farsi et polonais. Cette expérience vise à déterminer si la simplification de la navigation permet de fidéliser davantage les lecteurs. Le test se déroulera du 31 août au 28 septembre et ne nécessite aucune intervention de la part des utilisateurs. * [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes|WMDE Technical Wishes]] travaille à l'amélioration des [[en:Wikipedia:VisualEditor/Named references|noms de référence générés automatiquement dans VisualEditor]]. Les contributeurs ne remarqueront qu'un léger changement à partir de cette semaine. Lors de l'ajout de noms de référence automatiques, la numérotation commencera par <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>:1</nowiki></code></bdi> au lieu de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>:0</nowiki></code></bdi>. Pour en savoir plus, consultez la [[m:WMDE Technical Wishes/References/VisualEditor automatic reference names|page du projet]]. [https://gerrit.wikimedia.org/r/c/VisualEditor/VisualEditor/+/1332704] * Tous les wikis seront [[m:Special:MyLanguage/Tech/Server switch|en lecture seule pendant quelques minutes]] le 23 septembre. Cette opération est prévue à 14h UTC. De plus amples informations seront publiées dans la rubrique « Tech News » et seront également mises en ligne sur chaque wiki au cours des prochaines semaines. [https://phabricator.wikimedia.org/T433363] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:25|la tâche soumise|les {{formatnum:25}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:25||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème lié au fait que [[mw:Special:MyLanguage/Parsoid|Parsoid]] pouvait mal gérer les balises nowiki imbriquées, entraînant la perte de contenu et l'affichage de texte indésirable, a désormais été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T435116] '''Actualités pour la contribution technique''' * Les administrateurs de l'interface peuvent configurer les gadgets à partir de [[MediaWiki:Gadgets-definition]]. Le format de définition a été mis à jour et ne nécessite plus l'option <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>ResourceLoader</nowiki></code></bdi>, car les gadgets sont toujours chargés via <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>ResourceLoader</nowiki></code></bdi>. Cela simplifie la configuration des gadgets en supprimant une option qui n'est plus nécessaire, ce qui facilite la tâche des administrateurs lors de la définition des gadgets. [https://phabricator.wikimedia.org/T298199] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.19|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/37|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W37"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 7 septembre 2026 à 18:44 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=31008437 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-38</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W38"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/38|Translations]] are available. '''Weekly highlight''' * The Future Audiences team has started a [[en:Special:MyLanguage/Wikipedia:Village pump (proposals)#New proposed experiment to let readers know about “Google preferred sources”|discussion on English Wikipedia]] about a proposed new experiment to show a temporary notice about the new [https://blog.google/products-and-platforms/products/search/original-high-quality-content-search/ Google Preferred Sources] feature to Wikipedia readers coming from Google. The experiment is to test whether this notice makes visitors come back to Wikipedia more often. Preferred Sources feature lets users choose websites they trust so Google can highlight content from those sources more prominently in Search and AI experiences. We are interested in testing this on other languages that Google supports and would welcome assistance with starting conversations on other wikis. If interested, please reach out to Future Audiences on the [[m:Special:MyLanguage/Future Audiences/Preferred sources|talk page]]. '''Updates for editors''' * The chat platform Discord is releasing a new self-service framework that websites can use to specify how their links should look when shared on Discord. The Future Audiences team is planning to start using this new framework to improve how Wikipedia links look when shared on Discord, giving better attribution and credit to contributors. The link appearance and behavior won't change in the first phase of this project as we want to first collect some baseline data to assess the impact of future changes. However, if community members who are active on Discord spot any issues, they can reach out on [[phab:tag/future-audiences/|Phabricator]] or [[m:Special:MyLanguage/Future Audiences|Metawiki]]. * The Reader Growth team will be running an experiment to test whether [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader_Growth/Compact Lead|compacting article lead sections on mobiles]] with the addition of a "read more" button improves reader retention. The test will begin on September 17 on Arabic, Spanish, French, Indonesian, Italian, Japanese, Portuguese, Vietnamese, and Chinese Wikipedias and will run for four weeks. * All wikis will be [[m:Special:MyLanguage/Tech/Server switch|read-only for a few minutes]] on September 23. This is planned at 14:00 UTC. More information will be published in Tech News and will also be posted on individual wikis in the coming week. [https://phabricator.wikimedia.org/T433363] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:28}} community-submitted {{PLURAL:28|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where [https://wikistats.wmcloud.org/ Wikistats] for Wikipedias was returning an HTTP 500 error and could not be reached, has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T435959] '''Updates for technical contributors''' * Developers who maintain a tool that queries the Wikimedia Commons links tables need to update their code to connect to the new x4 database cluster. The links tables have been moved from the s4 cluster to x4, and will no longer receive updates on s4. The page and redirect tables remain available on both clusters. A wiki replica for the x4 cluster will be set up afterwards. The change is being made because the s4 cluster has grown too large to operate efficiently. You can [[wikitech:Special:MyLanguage/News/2026 Commons links tables database split|read more]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.20|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/38|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W38"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 14 septembre 2026 à 15:31 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=31039826 --> == Bascule de serveur : votre wiki sera bientôt en lecture seule durant un court instant == <section begin="server-switch"/><div class="plainlinks"> [[:m:Special:MyLanguage/Tech/Server switch|Lire ce message dans une autre langue]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-Tech%2FServer+switch&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}] La [[foundation:|Fondation Wikimédia]] va basculer le trafic entre ses centres de données. Cela permettra de s’assurer que Wikipédia et les autres wikis de Wikimédia peuvent rester en ligne même après une catastrophe. Le trafic sera basculé le '''{{#time:j xg|2026-09-23|fr}}'''. La bascule débutera à '''[https://zonestamp.toolforge.org/{{#time:U|2026-09-23T14:00|en}} {{#time:H:i e|2026-09-23T14:00}}]'''. Malheureusement, en raison de certaines limites de [[mw:Special:MyLanguage/Manual:What is MediaWiki?|MediaWiki]], toutes les modifications de pages devront être arrêtées durant le passage d’un centre de données à l’autre. Nous nous excusons pour ce dérangement, que nous nous efforçons de réduire pour le futur. Une bannière sera affichée sur tous les wikis 30 minutes avant le début de l’opération. Cette bannière restera visible jusqu’à la fin de l’opération. Vous pouvez contribuer à la [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ATranslate&group=Centralnotice-tgroup-read_only_banner&task=view&language=&filter=&action=translate traduction ou relecture] du texte de cette bannière. '''Pendant une courte période, vous pourrez lire les wikis mais pas les modifier.''' * Vous ne pourrez pas effectuer de modification pendant une durée pouvant aller jusqu’à une heure, le {{#time:l j xg Y|2026-09-23|fr}}. * Si vous essayez de faire une modification ou de sauvegarder pendant cette période, vous verrez un message d’erreur. Nous espérons qu’aucune modification ne sera perdue durant ce temps, mais nous ne pouvons le garantir. Si vous voyez un message d’erreur, merci de patienter jusqu’au retour à la normale. Vous pourrez alors enregistrer votre modification. Nous vous conseillons cependant de faire une copie de votre modification avant, au cas où. ''Autres conséquences :'' * Les tâches de fond seront ralenties et certaines pourraient être stoppées. Les liens rouges ne seront pas mis à jour aussi vite que d’habitude. Si vous créez un article qui est déjà lié depuis une autre page, le lien rouge pourrait rester rouge plus longtemps que d’habitude. Certains scripts ayant un long temps d’exécution devront être stoppés. * Le déploiement de code devrait se dérouler comme chaque semaine. Cependant, certains codes particuliers pourraient être gelés si l’opération le nécessitait. * [[mw:Special:MyLanguage/GitLab|GitLab]] sera indisponible durant environ 90 minutes. Ce projet pourra être reporté si nécessaire. Vous pouvez [[wikitech:Switch_Datacenter|consulter le calendrier sur wikitech.wikimedia.org]]. Tout changement sera annoncé dans le calendrier. '''Merci de partager ces informations avec votre communauté.'''</div><section end="server-switch"/> [[m:user:Trizek (WMF)|Trizek (WMF)]] 15 septembre 2026 à 12:58 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&oldid=30513874 --> ab7441ns45w1qhqrpfcjuojo8yxcqpt 104 87342 986587 986382 2026-09-15T14:52:36Z ESP ensma 80946 Ajout du lien vers le site de l'ESP 986587 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = physique | niveau = 16 }} = PLUME (Petit Lanceur Universitaire Multi Etablissement) = [[Fichier:Décollage_PLUME_Solide.jpg|vignette|Décollage PLUME Solide]] == Présentation du projet == === Origine du projet === Le projet '''PLUME''' (Petit Lanceur Universitaire Multi-Établissements) a été initié en 2021/2022 par le '''''NAASC''''' (Nouvelle-Aquitaine Academic Space Center). Son objectif est de promouvoir le secteur spatial et de susciter des vocations à travers une fusée expérimentale inter-établissements en Nouvelle-Aquitaine. Les tâches ont ainsi été réparties entre différentes écoles, notamment l'<nowiki/>'''ESTIA''', les '''Arts et Métiers de Bordeaux''' et l''''ISAE-ENSMA'''. Après deux premières années délicates, soldées par des vols non nominaux au C'Space, le NAASC a priorisé le développement de son CubeSat, le NanoNAASC. L'ISAE-ENSMA, alors chargée de la structure et de la propulsion liquide, a choisi de reprendre le projet en main afin d'aller jusqu'au bout du développement de son moteur. Le NAASC, toujours présent pour encourager l'innovation spatiale, continue de soutenir l'initiative, mais l'ISAE-ENSMA est restée seule sur le projet pendant un an afin d'avancer sur la conception et la qualification de son moteur liquide. Ce moteur est dit liquide car il fonctionne grâce à l'éjection à très haute vitesse des gaz brûlés issus de la combustion de deux liquides. Afin de simplifier l'architecture du moteur, le choix s'est porté sur l'utilisation d'ergols dits hypergoliques, c'est-à-dire que la combustion s'initie spontanément sans énergie d'activation, et donc sans allumeur. Ce projet de moteur liquide 100% étudiant est très ambitieux puisqu'il s'agit du tout premier moteur liquide étudiant français opérationnel. Jamais auparavant des étudiants français n'avaient réussi le développement et la qualification d'un tel moteur. En septembre 2025, le moteur a fait ses premières preuves lors d'un tir statique sur banc d'essai à l'ISAE-ENSMA. '''M. Bellenoue''', directeur de thèse de '''Célia Soudarin''' en charge de l’injecteur du propergol hypergolique de la fusée, est alors allé à la rencontre des élèves de l'ESP (ENSMA SPACE PROJECT) afin de relancer le projet et de concevoir une fusée autour de ce moteur. Très rapidement, le '''CNES''', chargé de qualifier la fusée et le moteur pour le vol, a demandé la réalisation d'un démonstrateur de la structure et de l’électronique. Celui-ci devait être testé avec un moteur à poudre (dit « solide ») et lancé au C'Space. Le projet PLUME Solide a donc été entrepris pour permettre la démonstration de la faisabilité de PLUME Liquide. Cette faisabilité représentait un véritable défi : l'équipe s'est en effet rendu compte que le changement d'ordre de grandeur intervenait aux endroits les plus contraignants. À titre de comparaison, le Pro54 (un moteur à poudre très communément utilisé dans le modélisme spatial) pèse environ 1,6 kg plein, mesure près de 50 cm et délivre une poussée d'environ 900 N. De son côté, le moteur bi-liquide affiche une poussée proche de 1100 N, mais pour une masse d'au moins 10 kg et une longueur de 1,55 m. De plus, certains choix structurels faits sur le moteur imposent l'utilisation de tiges filetées pour la structure de la fusée ; or, ces tiges ne reprennent pas les efforts de flexion et ne sont donc pas adaptées à l'ensemble de la structure. Après plusieurs semaines d'études, le projet a été pleinement repris par les étudiants de l'ISAE-ENSMA ('''ESP''' et Bureaux d'études) afin de construire une fusée adaptée à ce moteur bi-liquide. Quelques mois plus tard, la décision a été prise de confier la reprise des efforts de traction et de compression aux tiges filetées, tout en déléguant la flexion et la torsion à une peau en composite époxy-fibre de carbone. Le projet étant toujours soutenu par le NAASC, l'ESTIA s'est denouveau engagée dans le projet afin de fournir la peau composite et les trappes en fibre de carbone. L'expertise de cette école et de ses étudiants dans le domaine des composites constitue un réel atout. PLUME est alors redevenu un projet multi-établissements. Après deux longues années de travail pour concevoir une électronique, une structure et un système de récupération capables d'accueillir aussi bien un moteur Pro54 (1,6 kg, 50 cm) que le moteur bi-liquide (10 kg, 1,55 m), PLUME Solide a été qualifié au C'Space 2026. === Eté 2026 === PLUME Solide étant un démonstrateur, un maximum d'aspects de la version bi-liquide devaient être simulés et testés. Pour la structure, des tiges filetées M8 ont été retenues afin d'assembler le moteur de la manière la plus simple, rapide, précise et économique possible, la peau composite assurant la tenue en flexion et en torsion. Pour la propulsion, trois bagues en aluminium sont présentes dans PLUME Solide pour accueillir le Pro54 et tenir les ailerons. De plus, afin de simuler la masse, la position du centre de gravité et les efforts structurels, PLUME Solide a été lesté de 8 kg à des endroits stratégiques. L'emplacement du moteur liquide a également été réservé : la version solide pouvait ainsi accueillir et être propulsée à 100 % par l'un ou l'autre des moteurs. Concernant la récupération, le parachute situé juste au-dessus du moteur liquide possède des caractéristiques strictement identiques pour les deux versions. Enfin, l'électronique a été pensée pour s'adapter indifféremment aux deux modes de propulsion. Tous les capteurs sont présents sur la version solide, l'ordinateur de bord est identique, tout comme le code et la gestion des tâches. La seule différence réside dans la télémétrie. Les moteurs solides du CNES étant mis à feu par ondes radio, toute liaison radio montante est interdite une fois le moteur installé. Or, ces liaisons montantes seront indispensables sur la version liquide pour commander l'ouverture des électrovannes depuis le segment sol. La procédure de lancement a donc été revue et simplifiée pour la version solide afin d'être en pleine conformité avec le cahier des charges du C'Space. Grâce à l'ensemble de ces dispositions, PLUME Solide a réalisé un vol nominal lors du C'Space 2026. Cela a permis au CNES de valider la structure, le matériel (hardware), le logiciel (software), la télémétrie, la retransmission vidéo en direct, ainsi que la procédure de récupération et de sécurité (hors bloc moteur). Vous pouvez retrouver ici en intégralité le rapport de PLUME Solide. === 2026-2027 === Ce succès ouvre la voie à l'utilisation du moteur bi-liquide hypergolique développé par les étudiants de l'ISAE-ENSMA, de l'ESP et les doctorants travaillant sur l'injection des liquides hypergoliques. Néanmoins, du à des contraintes budgétaires, le NAASC s'est retiré du projet et alors l'ESP, aidé des bureaux d'études de l'ISAE-ENSMA, de l'ESTIA et du CNES, a repris la pleine direction du projet en septembre 2026. La fusée étant désormais validée à la suite de ce vol de démonstration, l'étape suivante consiste à qualifier le moteur via la rédaction du dossier de sécurité, la validation des procédures de mise en œuvre et la réalisation d'un tir statique de sa version finale. Il faudra ensuite assembler une seconde fusée en optimisant les détails relevés sur la version solide, avant de procéder à un ultime tir statique de l'ensemble fusée-moteur. À l'issue de ces étapes, l'ESP a obtenu le feu vert du CNES pour effectuer le lancement sous leur direction en novembre 2027. Ce projet passionnant ne s'arrêtera pas là. Malgré ses contraintes de masse et de volume, cette technologie offre des avantages majeurs : contrairement à un bloc solide, ce moteur peut être réutilisé et rallumé plusieurs fois au cours d'un même vol. De plus, la mise en place d'un contrôle vectoriel de poussée (TVC) devient envisageable. De surcroît, en augmentant le volume des réservoirs, la fusée pourra pousser plus longtemps et atteindre des altitudes nettement plus élevées pour y larguer des expériences étudiantes. Enfin, cette technologie peut être envisagée comme allumeur d'un prochain moteur à ergols non hypergoliques plus efficients. == Présentation de PLUME Solide == Le démonstrateur PLUME Solide cherche donc à intégrer à une fusée propulsée par un moteur solide, tous les sous-systèmes requis pour être propulsé par le moteur bi-liquide développé en interne. La fusée pèse donc 20 kg pleine pour 2,28 m de haut et 130 mm de diamètre. Le Pro54 pousse en moyenne 700 N sur presque 4 secondes. Elle est dotée de 3 ailerons pour sa stabilité. Son parachute de 2,40 m de diamètre lui permet d'avoir une vitesse verticale de descente de 7 à 8 m/s. Sa peau en composite époxy-fibre de carbone en une unique pièce pesant moins de 2,5 kg lui permet de tenir en flexion et en torsion. Les tiges filetées, très pratiques pour l'assemblage du moteur liquide, reprennent la compression et la traction. Concernant l'électronique, la fusée a un total de 7 cœurs de calcul afin de gérer : la récupération via le parachute, l'avionique et la trajectoire à l'aide de 11 capteurs, la sécurité du moteur avec le remplissage, l'allumage et la gestion des cas dégradés, les 10 capteurs sur le moteur bi-liquide, le réseau fluidique et enfin la liaison avec le segment sol afin de lui transmettre toutes les données et de recevoir ses ordres. Une caméra embarquée avec retransmission en direct a également été ajoutée. Pour avoir quelques chiffres en tête, toutes les données des capteurs sont enregistrées environ 70 fois par seconde en dur dans la fusée et sont envoyés au segment sol environ 15 à 17 fois par seconde. Cette liaison radio permet un stockage de secours mais surtout un accès à tous les états de la fusée afin de gérer au mieux la sécurité des personnes durant les opérations de lancement. Cela représente environ 5 millions de données à traiter une fois la fusée récupérée. Grâce à cette structure lourde, grande et en tige filetée mais également grâce à cette électronique poussée et modulaire afin d'assurer une sécurité maximale même pendant des cas dégradés, PLUME Solide est aussi bien capable de voler avec le Pro54 que le moteur bi-liquide. == Médias externes et liens == L'ESP entretien régulièrement ses pages YouTube, Instagram et LinkedIn et a ainsi posté régulièrement des photos et vidéos sur le projet PLUME. Vous avez ici leurs liens : Instagram ESP, LinkedIn ESP, YouTube ESP. Le site internet actuel de l'ESP se veut moins régulièrement être mis à jour (en 2026) : [https://esp.ensma.fr/ site ESP] == Personnes majeures == L'enseignant chercheur de l'ISAE-ENSMA qui a supervisé le projet sur sa globalité est Marc BELLENOUE. Il est également le directeur de thèse de Célia SOUDARIN et de ''Caroline CHABAUD'' qui ont toutes les deux travaillées sur l'injecteur des ergols hypergoliques. Les élèves porteurs de projets ont été : '''Maxime CHAUDRON''' (2025-2026), '''Ewan KERSIVIEN''' (2026-2027) (LinkedIn) Nous retrouvons également '''Paul LECOMTE''' (LinkedIn) qui a été de 2025 à 2027 chef électronique embarquée avionique et gestion du moteur liquide, chef du segment segment sol, chef du séquenceur, chef du parachute et de la récupération, chef de la CAO et chef live et communication, ainsi qu''''Olivier ANTONIO''' (LinkedIn) qui a été en 2025/2026 chef de la structure et chef de la propulsion. __INDEX__ __AUCUNLIENNOUVELLESECTION__ 1pfx5wcdx2qavi24t7c32q1hw6opblf 986588 986587 2026-09-15T15:02:25Z ESP ensma 80946 Ajout de liens externes 986588 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = physique | niveau = 16 }} = PLUME (Petit Lanceur Universitaire Multi Etablissement) = [[Fichier:Décollage_PLUME_Solide.jpg|vignette|Décollage PLUME Solide]] == Présentation du projet == === Origine du projet === Le projet '''PLUME''' (Petit Lanceur Universitaire Multi-Établissements) a été initié en 2021/2022 par le '''''NAASC''''' (Nouvelle-Aquitaine Academic Space Center). Son objectif est de promouvoir le secteur spatial et de susciter des vocations à travers une fusée expérimentale inter-établissements en Nouvelle-Aquitaine. Les tâches ont ainsi été réparties entre différentes écoles, notamment l''''ESTIA''', les '''Arts et Métiers de Bordeaux''' et l'[https://www.ensma.fr/ '''ISAE-ENSMA'''.] Après deux premières années délicates, soldées par des vols non nominaux au C'Space, le NAASC a priorisé le développement de son CubeSat, le NanoNAASC. L'ISAE-ENSMA, alors chargée de la structure et de la propulsion liquide, a choisi de reprendre le projet en main afin d'aller jusqu'au bout du développement de son moteur. Le NAASC, toujours présent pour encourager l'innovation spatiale, continue de soutenir l'initiative, mais l'ISAE-ENSMA est restée seule sur le projet pendant un an afin d'avancer sur la conception et la qualification de son moteur liquide. Ce moteur est dit liquide car il fonctionne grâce à l'éjection à très haute vitesse des gaz brûlés issus de la combustion de deux liquides. Afin de simplifier l'architecture du moteur, le choix s'est porté sur l'utilisation d'ergols dits hypergoliques, c'est-à-dire que la combustion s'initie spontanément sans énergie d'activation, et donc sans allumeur. Ce projet de moteur liquide 100% étudiant est très ambitieux puisqu'il s'agit du tout premier moteur liquide étudiant français opérationnel. Jamais auparavant des étudiants français n'avaient réussi le développement et la qualification d'un tel moteur. En septembre 2025, le moteur a fait ses premières preuves lors d'un tir statique sur banc d'essai à l'ISAE-ENSMA. '''M. Bellenoue''', directeur de thèse de '''Célia Soudarin''' en charge de l’injecteur du propergol hypergolique de la fusée, est alors allé à la rencontre des élèves de l'ESP (ENSMA SPACE PROJECT) afin de relancer le projet et de concevoir une fusée autour de ce moteur. Très rapidement, le '''CNES''', chargé de qualifier la fusée et le moteur pour le vol, a demandé la réalisation d'un démonstrateur de la structure et de l’électronique. Celui-ci devait être testé avec un moteur à poudre (dit « solide ») et lancé au C'Space. Le projet PLUME Solide a donc été entrepris pour permettre la démonstration de la faisabilité de PLUME Liquide. Cette faisabilité représentait un véritable défi : l'équipe s'est en effet rendu compte que le changement d'ordre de grandeur intervenait aux endroits les plus contraignants. À titre de comparaison, le Pro54 (un moteur à poudre très communément utilisé dans le modélisme spatial) pèse environ 1,6 kg plein, mesure près de 50 cm et délivre une poussée d'environ 900 N. De son côté, le moteur bi-liquide affiche une poussée proche de 1100 N, mais pour une masse d'au moins 10 kg et une longueur de 1,55 m. De plus, certains choix structurels faits sur le moteur imposent l'utilisation de tiges filetées pour la structure de la fusée ; or, ces tiges ne reprennent pas les efforts de flexion et ne sont donc pas adaptées à l'ensemble de la structure. Après plusieurs semaines d'études, le projet a été pleinement repris par les étudiants de l'ISAE-ENSMA ('''ESP''' et Bureaux d'études) afin de construire une fusée adaptée à ce moteur bi-liquide. Quelques mois plus tard, la décision a été prise de confier la reprise des efforts de traction et de compression aux tiges filetées, tout en déléguant la flexion et la torsion à une peau en composite époxy-fibre de carbone. Le projet étant toujours soutenu par le NAASC, l'ESTIA s'est denouveau engagée dans le projet afin de fournir la peau composite et les trappes en fibre de carbone. L'expertise de cette école et de ses étudiants dans le domaine des composites constitue un réel atout. PLUME est alors redevenu un projet multi-établissements. Après deux longues années de travail pour concevoir une électronique, une structure et un système de récupération capables d'accueillir aussi bien un moteur Pro54 (1,6 kg, 50 cm) que le moteur bi-liquide (10 kg, 1,55 m), PLUME Solide a été qualifié au C'Space 2026. === Eté 2026 === PLUME Solide étant un démonstrateur, un maximum d'aspects de la version bi-liquide devaient être simulés et testés. Pour la structure, des tiges filetées M8 ont été retenues afin d'assembler le moteur de la manière la plus simple, rapide, précise et économique possible, la peau composite assurant la tenue en flexion et en torsion. Pour la propulsion, trois bagues en aluminium sont présentes dans PLUME Solide pour accueillir le Pro54 et tenir les ailerons. De plus, afin de simuler la masse, la position du centre de gravité et les efforts structurels, PLUME Solide a été lesté de 8 kg à des endroits stratégiques. L'emplacement du moteur liquide a également été réservé : la version solide pouvait ainsi accueillir et être propulsée à 100 % par l'un ou l'autre des moteurs. Concernant la récupération, le parachute situé juste au-dessus du moteur liquide possède des caractéristiques strictement identiques pour les deux versions. Enfin, l'électronique a été pensée pour s'adapter indifféremment aux deux modes de propulsion. Tous les capteurs sont présents sur la version solide, l'ordinateur de bord est identique, tout comme le code et la gestion des tâches. La seule différence réside dans la télémétrie. Les moteurs solides du CNES étant mis à feu par ondes radio, toute liaison radio montante est interdite une fois le moteur installé. Or, ces liaisons montantes seront indispensables sur la version liquide pour commander l'ouverture des électrovannes depuis le segment sol. La procédure de lancement a donc été revue et simplifiée pour la version solide afin d'être en pleine conformité avec le cahier des charges du C'Space. Grâce à l'ensemble de ces dispositions, PLUME Solide a réalisé un vol nominal lors du C'Space 2026. Cela a permis au CNES de valider la structure, le matériel (hardware), le logiciel (software), la télémétrie, la retransmission vidéo en direct, ainsi que la procédure de récupération et de sécurité (hors bloc moteur). Vous pouvez retrouver ici en intégralité le [[iarchive:rapport-plume-solide-26|rapport de PLUME Solide]]. === 2026-2027 === Ce succès ouvre la voie à l'utilisation du moteur bi-liquide hypergolique développé par les étudiants de l'ISAE-ENSMA, de l'ESP et les doctorants travaillant sur l'injection des liquides hypergoliques. Néanmoins, du à des contraintes budgétaires, le NAASC s'est retiré du projet et alors l'ESP, aidé des bureaux d'études de l'ISAE-ENSMA, de l'ESTIA et du CNES, a repris la pleine direction du projet en septembre 2026. La fusée étant désormais validée à la suite de ce vol de démonstration, l'étape suivante consiste à qualifier le moteur via la rédaction du dossier de sécurité, la validation des procédures de mise en œuvre et la réalisation d'un tir statique de sa version finale. Il faudra ensuite assembler une seconde fusée en optimisant les détails relevés sur la version solide, avant de procéder à un ultime tir statique de l'ensemble fusée-moteur. À l'issue de ces étapes, l'ESP a obtenu le feu vert du CNES pour effectuer le lancement sous leur direction en novembre 2027. Ce projet passionnant ne s'arrêtera pas là. Malgré ses contraintes de masse et de volume, cette technologie offre des avantages majeurs : contrairement à un bloc solide, ce moteur peut être réutilisé et rallumé plusieurs fois au cours d'un même vol. De plus, la mise en place d'un contrôle vectoriel de poussée (TVC) devient envisageable. De surcroît, en augmentant le volume des réservoirs, la fusée pourra pousser plus longtemps et atteindre des altitudes nettement plus élevées pour y larguer des expériences étudiantes. Enfin, cette technologie peut être envisagée comme allumeur d'un prochain moteur à ergols non hypergoliques plus efficients. == Présentation de PLUME Solide == Le démonstrateur PLUME Solide cherche donc à intégrer à une fusée propulsée par un moteur solide, tous les sous-systèmes requis pour être propulsé par le moteur bi-liquide développé en interne. La fusée pèse donc 20 kg pleine pour 2,28 m de haut et 130 mm de diamètre. Le Pro54 pousse en moyenne 700 N sur presque 4 secondes. Elle est dotée de 3 ailerons pour sa stabilité. Son parachute de 2,40 m de diamètre lui permet d'avoir une vitesse verticale de descente de 7 à 8 m/s. Sa peau en composite époxy-fibre de carbone en une unique pièce pesant moins de 2,5 kg lui permet de tenir en flexion et en torsion. Les tiges filetées, très pratiques pour l'assemblage du moteur liquide, reprennent la compression et la traction. Concernant l'électronique, la fusée a un total de 7 cœurs de calcul afin de gérer : la récupération via le parachute, l'avionique et la trajectoire à l'aide de 11 capteurs, la sécurité du moteur avec le remplissage, l'allumage et la gestion des cas dégradés, les 10 capteurs sur le moteur bi-liquide, le réseau fluidique et enfin la liaison avec le segment sol afin de lui transmettre toutes les données et de recevoir ses ordres. Une caméra embarquée avec retransmission en direct a également été ajoutée. Pour avoir quelques chiffres en tête, toutes les données des capteurs sont enregistrées environ 70 fois par seconde en dur dans la fusée et sont envoyés au segment sol environ 15 à 17 fois par seconde. Cette liaison radio permet un stockage de secours mais surtout un accès à tous les états de la fusée afin de gérer au mieux la sécurité des personnes durant les opérations de lancement. Cela représente environ 5 millions de données à traiter une fois la fusée récupérée. Grâce à cette structure lourde, grande et en tige filetée mais également grâce à cette électronique poussée et modulaire afin d'assurer une sécurité maximale même pendant des cas dégradés, PLUME Solide est aussi bien capable de voler avec le Pro54 que le moteur bi-liquide. == Médias externes et liens == L'ESP entretien régulièrement ses pages YouTube, Instagram et LinkedIn et a ainsi posté régulièrement des photos et vidéos sur le projet PLUME. Vous avez ici leurs liens : [https://www.instagram.com/ensma_space_project/ Instagram ESP], [https://www.linkedin.com/in/esp-ensma-985528291/ LinkedIn ESP], [https://www.youtube.com/@esp_ensma YouTube ESP]. Le site internet actuel de l'ESP se veut moins régulièrement être mis à jour (en 2026) : [https://esp.ensma.fr/ site ESP] == Personnes majeures == L'enseignant chercheur de l'ISAE-ENSMA qui a supervisé le projet sur sa globalité est Marc BELLENOUE. Il est également le directeur de thèse de Célia SOUDARIN et de ''Caroline CHABAUD'' qui ont toutes les deux travaillées sur l'injecteur des ergols hypergoliques. Les élèves porteurs de projets ont été : '''Maxime CHAUDRON''' (2025-2026), '''Ewan KERSIVIEN''' (2026-2027) ([https://www.linkedin.com/in/ewan-kersivien-0717663a4/ LinkedIn]) Nous retrouvons également '''Paul LECOMTE''' ([https://www.linkedin.com/in/paul-lecomte-21815819a/ LinkedIn]) qui a été de 2025 à 2027 chef électronique embarquée avionique et gestion du moteur liquide, chef du segment segment sol, chef du séquenceur, chef du parachute et de la récupération, chef de la CAO et chef live et communication, ainsi qu''''Olivier ANTONIO''' ([https://www.linkedin.com/in/olivier-antonio-8766872a9/ LinkedIn]) qui a été en 2025/2026 chef de la structure et chef de la propulsion. __INDEX__ __AUCUNLIENNOUVELLESECTION__ n6fnys7soesws23t3zsn4jyz8nb9yzq